《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广西专版》

中国旅游研究院 2024 年 1 月 5 日发布的“2024 年冰雪旅游十佳城市”中，哈尔滨位列榜首，火爆出圈，其中帽儿山的滑雪运动深受欢迎. 滑雪爱好者小李为了得出滑行距离 $ y(m) $ 与滑行时间 $ x(s) $ 之间的关系，以便更好地享受此项运动带来的乐趣，他在滑道 $ A $ 上设置了若干个观测点，收集了一些数据，如下表所示：

(1)请在平面直角坐标系中描出表中数据所对应的 7 个点，并用平滑的曲线连接.
(2)观察由(1)所得的图象，请根据图象选用一个函数近似地表示 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系，并求出这个近似函数的关系式(不要求写出自变量的取值范围).
(3)若另一名滑雪爱好者小张在小李出发 5 s 后沿着滑道 $ B $ 滑行(两条滑道互相平行，且起点在同一直线上)，他的滑行距离 $ y(m) $ 与滑行时间 $ x(s) $ 可近似地看成二次函数 $ y = 3x^{2} + dx $，当小李滑行距离为 384 m 时，他比小张多滑行的距离不超过 160 m，求 $ d $ 的最小值. (参考数据：$ 124^{2} = 15376 $)

答案：

(1)如图所示

(2)选用二次函数来表示,设 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式为 $y=ax^{2}+bx+c$，将表格数据 $(0,0)，(1，4.5)，(2，14)$ 代人，得$\begin{cases} c=0, \\ a+b+c=4.5， \\4a+2b+c=14， \end{cases}$解得$\begin{cases} a=\frac{5}{2}, \\ b=2, \\ c=0. \end{cases}$$\therefore y$ 与 $x$ 之间的函数关系式为 $y=\frac{5}{2}x^{2}+2x$.
(3)小李在滑行距离为 $384\ m$ 时，所用时间 $x$ 满足 $\frac{5}{2}x^{2}+2x=384$，整理，得 $5x^{2}+4x-768=0$，解得 $x_{1}=12，x_{2}=-12.8$(舍去).当小张滑行时间为 $12 - 5 = 7(s)$ 时，$y=3x^{2}+dx=3×7^{2}+7d=147 + 7d.\because384-(147+7d)\leq160，\therefore d\geq11.\therefore d$ 的最小值为 $11$.