《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广西专版》

10. 若 $ y = (k - 3)x^{k^{2} - 3k + 2} + kx + 1 $ 是关于 $ x $ 的二次函数，则 $ k $ 的值是0.

答案： 10.0

11. 下列函数：① $ y = 2x - 1 $；② $ y = 1 - \sqrt{2}x^{2} $；③ $ y = 3x^{3} - 2x^{2} $；④ $ y = 9x^{2} - (3x - 1)^{2} $；⑤ $ y = x^{2} + \frac{1}{x} + 5 $；⑥ $ y = \frac{1}{2}(x - 1)(x + 4) $. 其中二次函数有(B)

A.$ 1 $ 个
B.$ 2 $ 个
C.$ 3 $ 个
D.$ 4 $ 个

答案： 11.B

12. 商店销售一种进价为 $ 50 $ 元/件的商品，售价为 $ 60 $ 元/件，每星期可卖出 $ 200 $ 件. 若每件商品的售价上涨 $ 1 $ 元，则每星期就会少卖 $ 10 $ 件. 设每件商品的售价上涨 $ x $ 元($ x $ 为正整数)，每星期销售的利润为 $ y $ 元，则 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式为(D)

A.$ y = 10(200 - 10x) $
B.$ y = 200(10 + x) $
C.$ y = 10(200 - 10x)^{2} $
D.$ y = (10 + x)(200 - 10x) $

答案： 12.D

13. 已知关于 $ x $ 的函数 $ y = (|m| - 1)x^{2} + (m - 1)x + m + 1 $.
(1)若这个函数是一次函数，则 $ m = $-1.
(2)若这个函数是二次函数，则 $ m $ 的取值范围是m≠±1.

答案： 13.
(1)-1
(2)m≠±1

14. 新考向 模型观念 一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个半圆，下部是一个矩形，矩形垂直于地面的一边长为 $ 2.5 $ m.

(1)求隧道截面的面积 $ S(m^{2}) $ 与上部半圆的半径 $ r(m) $ 之间的函数关系式.
(2)当上部半圆的半径为 $ 2 $ m 时，截面面积是多少(参考数据：$ \pi \approx 3.14 $. 结果精确到 $ 0.1 $ $ m^{2} $)?

答案： 14.解：
(1)
∵上部半圆的半径为r m，
∴矩形的另一边长为2r m。
∴S = S半圆 + S矩形$ =\frac{1}{2}πr² + 2.5×2r=\frac{1}{2}πr² + 5r。$答：S与r之间的函数关系式为$S=\frac{1}{2}πr² + 5r。$
(2)当r = 2时，$S=\frac{1}{2}π×2² + 5×2≈16.3。$答：当上部半圆的半径为2m时，截面面积约是16.3m²。

15. 综合与实践：
【问题背景】如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle B = 90^{\circ} $，$ AB = 12 $ cm，$ BC = 24 $ cm，动点 $ P $ 从点 $ A $ 开始沿边 $ AB $ 向点 $ B $ 以 $ 2 $ cm/s 的速度移动(不与点 $ B $ 重合)，动点 $ Q $ 从点 $ B $ 开始沿边 $ BC $ 向点 $ C $ 以 $ 4 $ cm/s 的速度移动(不与点 $ C $ 重合). 如果点 $ P $，$ Q $ 分别从点 $ A $，$ B $ 同时出发，设运动的时间为 $ x $ s，四边形 $ APQC $ 的面积为 $ y $ $ cm^{2} $.
【模型建立】
(1)求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式.
(2)求自变量 $ x $ 的取值范围.
【问题解决】
(3)四边形 $ APQC $ 的面积能否等于 $ 172 $ $ cm^{2} $? 若能，求出运动的时间；若不能，请说明理由.

答案： 15.解：
(1)
∵运动的时间为x s，点P的速度为2cm/s，点Q的速度为4cm/s，
∴PB=(12 - 2x)cm，BQ = 4x cm。
∴$y=\frac{1}{2}×12×24 - \frac{1}{2}×(12 - 2x)×4x = 4x² - 24x + 144。$
(2)
∵x＞0，12 - 2x＞0，24 - 4x＞0，
∴0＜x＜6。
(3)不能。理由如下：根据题意，得4x² - 24x + 144 = 172，解得x₁ = 7，x₂ = -1(不符合题意，舍去)。
∵0＜x＜6，
∴x = 7不在自变量x的取值范围内。
∴四边形APQC的面积不能等于172cm²。