《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广西专版》

1. (教材九上 P89 习题 T3 变式)(2024·广西 T24 节选)如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AB=AC，D，E 分别是 BC，AC 的中点，连接 DE 并延长至点 F，使 DE=EF，连接 AF. 求证：
(1)四边形 ABDF 是平行四边形.
(2)AF 与⊙O 相切.

答案： 1.证明：
(1)
∵D，E 分别是 BC，AC 的中点，
∴DE//AB,$DE = \frac{1}{2}AB$.
∵$DE = EF$，
∴$DE = \frac{1}{2}DF$.
∴$DF = AB$.
∵DF//AB，
∴四边形 ABDF 是平行四边形.
(2)连接 AD.
∵$AB = AC$，$BD = DC$，
∴$AD⊥BC$.
∴AD 垂直平分 BC.
∴AD 经过圆心 O.由
(1)知，$AF//BC$，
∴$DA⊥AF$.
∵OA 为⊙O 的半径，
∴AF 与⊙O 相切.

2. (2024·广西大学附中开学考)如图，在△ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的⊙O 分别交 AC，BC 于点 D，E.
(1)求证：BE=CE.

(2)若 AB=6，∠BAC=54°，求$\overgroup{AD}$的长.

答案： 2.解：
(1)证明：连接 AE.
∵AB 是⊙O 的直径，
∴$\angle AEB = 90^{\circ}$，即 AE⊥BC.又
∵$AB = AC$，
∴AE 是边 BC 上的中线.
∴$BE = CE$.
(2)连接 OD.
∵$AB = 6$，
∴$OA = 3$.
∵$\angle BAC = 54^{\circ}$，
∴$\angle AOD = 180^{\circ}-2 ×54^{\circ} = 72^{\circ}$.
∴AD 的长为$\frac{72 × \pi × 3}{180} = \frac{6\pi}{5}$.

3. (2024·南宁一模)如图，已知 BC 是⊙O 的直径，D 是 BC 延长线上的一点，AB=AD，AE 是⊙O 的弦，∠AEC=30°.
(1)求证：直线 AD 是⊙O 的切线.
(2)若 AE⊥BC，垂足为 M，⊙O 的半径为 10，求 AE 的长.

答案： 3.解：
(1)证明：连接 OA.
∵$\angle AEC = 30^{\circ}$，
∴$\angle B = \angle AEC = 30^{\circ}$，$\angle AOC =2\angle AEC = 60^{\circ}$.
∵$AB = AD$，
∴$\angle D = \angle B = 30^{\circ}$.
∴$\angle OAD = 180^{\circ}-\angle AOC - \angle D = 90^{\circ}$.
∴OA⊥AD.又
∵OA 是⊙O 的半径，
∴直线 AD 是⊙O 的切线.
(2)
∵BC 是⊙O 的直径，且 AE⊥BC 于点 M，
∴$AM = EM$.
∵$\angle AMO = 90^{\circ}$，$\angle AOM = 60^{\circ}$，
∴$\angle OAM = 30^{\circ}$.
∴$OM = \frac{1}{2}OA = \frac{1}{2} ×10 = 5$.
∴$AM = \sqrt{OA^{2} - OM^{2}} = \sqrt{10^{2} - 5^{2}} = 5\sqrt{3}$.
∴$AE = 2AM = 2 ×5\sqrt{3} = 10\sqrt{3}$.