《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

(2)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积 $= \frac{1}{2}$(弦 $×$ 矢 $+$ 矢 $^{2}$)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差. 现已知弧田面积为 $4\sqrt{3} + 2$，且弦是矢的 $2\sqrt{3}$ 倍，按照上述经验公式计算所得弧田的弧长是(D)


A.$\frac{\pi}{3}$
B.$\frac{2\pi}{3}$
C.$\frac{4\pi}{3}$
D.$\frac{8\pi}{3}$

答案：

(2)D
(2)如图，由题意得，$AB = 2\sqrt{3}CD$，弧田面积 = $\frac{1}{2} × (2\sqrt{3}CD · CD + CD^{2}) = 4\sqrt{3} + 2$，解得CD = 2，所以$AD = 2\sqrt{3}$。设圆半径为r，则有$AO^{2} = AD^{2} + OD^{2}$，即$r^{2} = (2\sqrt{3})^{2} + (r - 2)^{2}$，解得$r = 4$，所以$OD = 2$，则在$Rt\triangle AOD$中，$\angle AOD = \frac{\pi}{3}$，所以$\angle AOB = \frac{2\pi}{3}$，所以所求弧长为$4 × \frac{2\pi}{3} = \frac{8\pi}{3}$，故选D。

典例 2 (1)(2025·福建福州模拟)已知角 $\alpha$ 的顶点在坐标原点，始边与 $x$ 轴非负半轴重合，$\cos \alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}$，$P(m, 2)$ 为其终边上一点，则 $m =$(D)

A.$-4$
B.$4$
C.$-1$
D.$1$

答案：
(1)D
(1)始边与x轴非负半轴重合，$\cos\alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}$，P(m,2)为其终边上一点，则$\frac{m}{\sqrt{m^{2} + 4}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$，且m ＞ 0，解得m = 1，故选D。

(2)(多选题)(2025·江苏徐州模拟)已知角 $\alpha$ 的顶点为坐标原点，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边上存在两点 $A(-1, a)$，$B(b, 1)$ 且 $\sin \alpha = \frac{1}{3}$，则(BCD)

A.$a = -\frac{\sqrt{2}}{4}$
B.$b = -2\sqrt{2}$
C.$\cos \alpha = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$
D.$\tan \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{4}$

答案：
(2)BCD
(2)因为角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上存在两点A(-1,a)，B(b,1)且$\sin\alpha = \frac{1}{3}$，所以$\frac{a}{\sqrt{1 + a^{2}}} = \frac{1}{3}$，所以$a^{2} = \frac{1}{8}$，$b^{2} = 8$，由$\frac{a}{\sqrt{1 + a^{2}}} = \frac{1}{3}$，可知a ＞ 0，所以角α为第二象限的角，所以b ＜ 0，所以$a = \frac{\sqrt{2}}{4}$，$b = -2\sqrt{2}$，故A错误，B正确，所以$\cos\alpha = \frac{b}{\sqrt{b^{2} + 1}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$，$\tan\alpha = \frac{1}{b} = \frac{1}{-2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$，故C、D正确，故选BCD。

典例 3 (1)$\sin 2 · \cos 3 · \tan 4$ 的值(A)

A.小于 $0$
B.大于 $0$
C.等于 $0$
D.不存在

答案：
(1)A
(1)因为$\frac{\pi}{2} ＜ 2 ＜ 3 ＜ \pi ＜ 4 ＜ \frac{3\pi}{2}$，所以2 rad和3 rad的角是第二象限角，4 rad的角是第三象限角，所以$\sin 2 ＞ 0$，$\cos 3 ＜ 0$，$\tan 4 ＞ 0$，所以$\sin 2 · \cos 3 · \tan 4 ＜ 0$，故选A。

(2)(2025·河北邢台模拟)已知 $\alpha$ 为第二象限角，则(C)

A.$\cos \alpha - \sin \alpha ＞ 0$
B.$\sin \alpha + \cos \alpha ＞ 0$
C.$\sin \alpha \cos \alpha ＜ 0$
D.$\sin \alpha \tan \alpha ＞ 0$

答案：
(2)C
(2)因为α为第二象限角，所以$\sin\alpha ＞ 0$，$\cos\alpha ＜ 0$，$\tan\alpha ＜ 0$，则$\sin\alpha\cos\alpha ＜ 0$，$\cos\alpha - \sin\alpha ＜ 0$，$\sin\alpha\tan\alpha ＜ 0$，而$\sin\alpha + \cos\alpha$的符号不确定，故选C。

对点练 2 (1)(2025·湖南岳阳模拟)已知角 $\alpha$ 的顶点位于平面直角坐标系 $xOy$ 的原点，始边在 $x$ 轴的非负半轴上，终边与单位圆相交于点 $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$，则 $\sin \alpha \cos \alpha =$(A)

A.$-\frac{1}{2}$
B.$-\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{\sqrt{2}}{2}$

答案：
(1)A
(1)因为终边与单位圆相交于点$(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$，则终边落在第二象限，所以$\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos\alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin\alpha\cos\alpha = -\frac{1}{2}$，故选A。

(2)(2025·江西新余模拟)已知点 $M(\cos \alpha, \tan \alpha)$ 在第二象限，则角 $\alpha$ 的终边在(C)

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案：
(2)C
(2)因为点M($\cos\alpha$，$\tan\alpha$)在第二象限，所以$\cos\alpha ＜ 0$，$\tan\alpha ＞ 0$，所以角α的终边在第三象限，故选C。

[真题再现] (2022·全国甲卷)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，$\overset{\frown}{AB}$ 是以 $O$ 为圆心，$OA$ 为半径的圆弧，$C$ 是 $AB$ 的中点，$D$ 在 $\overset{\frown}{AB}$ 上，$CD \perp AB$. “会圆术”给出 $\overset{\frown}{AB}$ 的弧长的近似值 $s$ 的计算公式：$s = AB + \frac{CD^{2}}{OA}$. 当 $OA = 2$，$\angle AOB = 60^{\circ}$ 时，$s =$(B)


A.$\frac{11 - 3\sqrt{3}}{2}$
B.$\frac{11 - 4\sqrt{3}}{2}$
C.$\frac{9 - 3\sqrt{3}}{2}$
D.$\frac{9 - 4\sqrt{3}}{2}$

答案：
B 如图，连接OC。因为C是AB的中点，所以$OC \perp AB$，又$CD \perp AB$，所以O，C，D三点共线，即$OD = OA = OB = 2$，又$\angle AOB = 60^{\circ}$，所以$AB = OA = OB = 2$，则$OC = \sqrt{3}$，故$CD = 2 - \sqrt{3}$，所以$s = AB + \frac{CD^{2}}{OA} = 2 + \frac{(2 - \sqrt{3})^{2}}{2} = \frac{11 - 4\sqrt{3}}{2}$，故选B。