《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

1. 直线与平面垂直
(1) 直线和平面垂直的定义
如果直线 $ l $ 与平面 $ \alpha $ 内的任何一条直线都垂直，那么称直线 $ l $ 与平面 $ \alpha $ 垂直，记作.$l\perp\alpha$
(2) 性质定理与判定定理

[微提醒] “任何一条直线”与“所有直线”是同义的，但与“无数条直线”不同，定义的实质是直线与平面内的所有直线都垂直.

答案： （1）任何一条 $l\perp\alpha$ （2）平行 $a\perp\alpha$ $b\perp\alpha$ 两条相交直线 $a\subset\alpha$ $b\subset\alpha$ $a\cap b = A$ $l\perp a$ $l\perp b$

2. 平面与平面垂直
(1) 平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 平面 $ \alpha $ 与 $ \beta $ 垂直，记作：.$\alpha\perp\beta$
(2) 性质定理与判定定理

答案： （1）直二面角 $\alpha\perp\beta$ （2）交线 $\alpha\cap\beta = a$ $l\perp\alpha$ $l\subset\beta$ 垂线

1. (多选题) 下列命题中错误的是 (ACD)

A.若直线 $ l $ 与平面 $ \alpha $ 内的两条直线都垂直，则 $ l \perp \alpha $
B.若直线 $ a \perp \alpha $，$ b \perp \alpha $，则 $ a // b $
C.若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面
D.若 $ \alpha \perp \beta $，$ a \perp \beta $，则 $ a // \alpha $

答案： ACD

2. (链接北师必修二 P264T5) 已知直线 $ a $，$ b $ 与平面 $ \alpha $，$ \beta $，$ \gamma $，能使 $ \alpha \perp \beta $ 的充分条件是 (D)

A.$ \alpha \perp \gamma $，$ \beta \perp \gamma $
B.$ \alpha \cap \beta = a $，$ b \perp a $，$ b \subset \beta $
C.$ a // \beta $，$ a // \alpha $
D.$ a // \alpha $，$ a \perp \beta $

答案： D $\alpha\perp\gamma$，$\beta\perp\gamma\Rightarrow\alpha$ 与 $\beta$ 相交或平行，故 A 不正确；因为 $\alpha\cap\beta = a$，$b\perp a$，$b\subset\beta$，所以 $\beta$ 可以绕交线 $a$ 任意旋转，所以不能得到 $\alpha\perp\beta$，故 B 不正确；$\alpha//\beta$，$a//\alpha\Rightarrow a$ 与 $\beta$ 相交或平行，故 C 不正确；当 $a\perp\beta$，$a//\alpha$，过直线 $a$ 作平面与平面 $\alpha$ 交于直线 $b$，所以 $a// b$，又 $a\perp\beta$，所以 $b\perp\beta$，又 $b\subset\alpha$，所以 $\alpha\perp\beta$，故 D 正确。

3. (链接北师必修二 P248T7) (多选题) 如图，$ PA $ 垂直于以 $ AB $ 为直径的圆所在平面，$ C $ 为圆上异于 $ A $，$ B $ 的任意一点，$ AE \perp PC $，垂足为 $ E $，点 $ F $ 是 $ PB $ 上一点，则下列判断中正确的是 (ABD)


A.$ BC \perp $ 平面 $ PAC $
B.$ AE \perp EF $
C.$ AC \perp PB $
D.平面 $ AEF \perp $ 平面 $ PBC $

答案： ABD　对于 A，$PA$ 垂直于以 $AB$ 为直径的圆所在平面，而 $BC\subset$ 底面圆面，则 $PA\perp BC$，又由圆的性质可知 $AC\perp BC$，且 $PA\cap AC = A$，$PA$，$AC\subset$ 平面 $PAC$，则 $BC\perp$ 平面 $PAC$，故 A 正确；对于 B，由 A 项可知，$BC\perp AE$，由题意可知 $AE\perp PC$，且 $BC\cap PC = C$，$BC$，$PC\subset$ 平面 $PCB$，所以 $AE\perp$ 平面 $PCB$，而 $EF\subset$ 平面 $PCB$，所以 $AE\perp EF$，故 B 正确；对于 C，若 $AC\perp PB$，又 $PA\perp AC$，$PB\cap PA = P$，则 $AC\perp$ 平面 $PAB$，所以 $AC\perp AB$，不符合题意，所以 $AC\perp PB$ 不成立，故 C 错误；对于 D，由 B 项可知，$AE\perp$ 平面 $PCB$，$AE\subset$ 平面 $AEF$，由面面垂直的判定定理可得，平面 $AEF\perp$ 平面 $PBC$，故 D 正确。故选 ABD。

4. (双空题) (链接北师必修二 P248T5) 在三棱锥 $ P - ABC $ 中，点 $ P $ 在平面 $ ABC $ 上的投影为点 $ O $.
(1) 若 $ PA = PB = PC $，则点 $ O $ 是 $ \triangle ABC $ 的外心；
(2) 若 $ PA \perp PB $，$ PB \perp PC $，$ PC \perp PA $，则点 $ O $ 是 $ \triangle ABC $ 的垂心.

答案：
（1）外　　（2）垂　　（1）如图①，连接 $OA$，$OB$，$OC$，$OP$，在 $Rt\triangle POA$，$Rt\triangle POB$ 和 $Rt\triangle POC$ 中，$PA = PC = PB$，所以 $OA = OB = OC$，即 $O$ 为 $\triangle ABC$ 的外心。
　　　　　　　 　
（2）如图②，延长 $AO$，$BO$，$CO$ 分别交 $BC$，$AC$，$AB$ 于点 $H$，$D$，$G$。因为 $PC\perp PA$，$PB\perp PC$，$PA\cap PB = P$，$PA$，$PB\subset$ 平面 $PAB$，所以 $PC\perp$ 平面 $PAB$，又 $AB\subset$ 平面 $PAB$，所以 $PC\perp AB$。因为 $AB\perp PO$，$PO\cap PC = P$，$PO$，$PC\subset$ 平面 $PGC$，所以 $AB\perp$ 平面 $PGC$，又 $CG\subset$ 平面 $PGC$，所以 $AB\perp CG$，即 $CG$ 为 $\triangle ABC$ 边 $AB$ 上的高。同理可证 $BD$，$AH$ 分别为 $\triangle ABC$ 边 $AC$，$BC$ 上的高，即 $O$ 为 $\triangle ABC$ 的垂心。