《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

1. (多选题)下列说法中正确的是(AB)

A.存在$\alpha$，$\beta$，使等式$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha + \sin\beta$成立
B.$\cos x + \dfrac{\sqrt{3}}{2}$化为积的形式为$2\cos\left(\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi}{12}\right)\cos\left(\dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi}{12}\right)$
C.公式$a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2 + b^2}\sin(x + \varphi)$中$\varphi$的取值与$a$，$b$的值无关
D.公式$\tan(\alpha + \beta) = \dfrac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}$可以变形为$\tan\alpha + \tan\beta = \tan(\alpha + \beta)(1 - \tan\alpha\tan\beta)$，且对任意角$\alpha$，$\beta$都成立

答案： 1.AB

2. (链接北师必修二P156T2，改编)$\sin 20°\cos 10° - \cos 160°\sin 10°$等于(D)

A.$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
C.$-\dfrac{1}{2}$
D.$\dfrac{1}{2}$

答案： 2.D

3. (链接北师必修二P154T2，改编)若$\cos\alpha = -\dfrac{4}{5}$，$\alpha$是第三象限角，则$\sin\left(\alpha + \dfrac{\pi}{4}\right)$等于(C)

A.$-\dfrac{\sqrt{2}}{10}$
B.$\dfrac{\sqrt{2}}{10}$
C.$-\dfrac{7\sqrt{2}}{10}$
D.$\dfrac{7\sqrt{2}}{10}$

答案： 3.C

4. (链接北师必修二P156例4，改编)设锐角$\alpha$与$\beta$，若$\tan\alpha = 2$，$\tan\beta = 3$，则$\alpha + \beta = $$\frac{3\pi }{4}$$$.

答案： 4.$\frac{3\pi }{4}$

1. (2020·全国Ⅲ卷)已知$2\tan\theta - \tan\left(\theta + \dfrac{\pi}{4}\right) = 7$，则$\tan\theta =$(D)

A.$-2$
B.$-1$
C.$1$
D.$2$

答案： 1.D

2. (2025·江苏南京期末)已知$\cos(\alpha - \beta) = -\dfrac{3}{5}$，$\cos(\alpha + \beta) = \dfrac{1}{5}$，则$\sin\alpha\sin\beta =$(B)

A.$-\dfrac{3}{5}$
B.$-\dfrac{2}{5}$
C.$\dfrac{2}{5}$
D.$\dfrac{3}{5}$

答案： 2.B

3. 在$\triangle ABC$中，已知$\sin A = \dfrac{3}{5}$，$\cos B = \dfrac{5}{13}$，则$\cos C$等于(A)

A.$\dfrac{16}{65}$
B.$-\dfrac{16}{65}$
C.$\dfrac{16}{65}$或$\dfrac{56}{65}$
D.$-\dfrac{63}{65}$

答案： 3.A

典例1 (1)(多选题)计算下列几个式子，结果为$\sqrt{3}$的是(ABD)

A.$\tan 25° + \tan 35° + \sqrt{3}\tan 25°\tan 35°$
B.$2(\sin 35°\cos 25° + \sin 55°\cos 65°)$
C.$\dfrac{\tan\dfrac{\pi}{6}}{1 - \tan^2\dfrac{\pi}{6}}$
D.$\dfrac{1 + \tan 15°}{1 - \tan 15°}$

答案：
(1)ABD

(2)(2025·四川成都模拟)已知$\alpha$，$\beta$满足$\sin(2\alpha - \beta) = \dfrac{5}{12}$，$\cos(\alpha - \beta)\sin\alpha = \dfrac{1}{3}$，则$\sin\beta$的值为(C)

A.$\dfrac{1}{12}$
B.$-\dfrac{1}{12}$
C.$\dfrac{1}{4}$
D.$-\dfrac{1}{4}$

答案：
(2)C