《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

（2025·陕西安康模拟）在$\triangle ABC$中，角$A$，$B$，$C$的对边分别是$a$，$b$，$c$，$\tan C = (a - 1)\tan B$.
（1）求证：$b\cos C = 1$；
（2）若$a = 2$，$\triangle ABC$面积为$1$，求边$c$的长.
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答案： 解:
(1)证明:根据$\tan C=(a - 1)\tan B$，
　以及$\tan C=\frac{\sin C}{\cos C}$，$\tan B=\frac{\sin B}{\cos B}$，
　得$\frac{\sin C}{\cos C}=(a - 1)\frac{\sin B}{\cos B}$，$\sin C\cos B=(a - 1)\cos C\sin B$，
　所以$a\cos C\sin B=\sin C\cos B+\cos C\sin B$，
　即$a\cos C\sin B=\sin(C + B)$，
　根据$B + C=\pi - A$，得$\sin(C + B)=\sin A$.
　所以$a\cos C\sin B=\sin A$，由正弦定理，得$a\cos C=a$，因此$b\cos C = 1$.
(2)由
(1)知，$\cos C=\frac{1}{b}$，$\sin C=\sqrt{1-\frac{1}{b^{2}}}$，
　$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ab\sin C=b\sqrt{1-\frac{1}{b^{2}}}=\sqrt{b^{2}-1}=1$，
　所以$b^{2}=2$，得$b=\sqrt{2}$，$\cos C=\frac{\sqrt{2}}{2}$，又$a = 2$，
　所以由余弦定理得$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}-2ab\cos C}=\sqrt{4 + 2-2×2×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}$.

[真题再现] （2024·新课标Ⅰ卷）记$\triangle ABC$的内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，已知$\sin C = \sqrt{2}\cos B$，$a^{2} + b^{2} - c^{2} = \sqrt{2}ab$.
（1）求$B$；
（2）若$\triangle ABC$的面积为$3 + \sqrt{3}$，求$c$.
[教材呈现] （北师必修二 P116 例 3）在$\triangle ABC$中，$a$，$b$，$c$分别是角$A$，$B$，$C$的对边，已知$A$是锐角，且$\cos 2A = -\dfrac{1}{2}$.
（1）若$mbc = b^{2} + c^{2} - a^{2}$，求实数$m$的值；
（2）若$a = \sqrt{3}$，求$\triangle ABC$面积的最大值.
点评：本题与教材例题的考查角度、考查方式一致，都是给出含有三角形的边、角关系的式子，结合正余弦定理和面积公式求解，是高考中解三角形问题的典型题型，是课本例题的改编，也是课本例题的升华.

答案： 解:
(1)由余弦定理得$\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
　又$0＜C＜\pi$，所以$C=\frac{\pi}{4}$.
　所以$\sqrt{2}\cos B=\sin C=\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以$\cos B=\frac{1}{2}$，又$0＜B＜\pi$，所以$B=\frac{\pi}{3}$.
(2)$\sin A=\sin(\pi - B - C)=\sin(B + C)=\sin\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4}+\cos\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$，由正弦定理$\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$，得$\frac{a}{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}=\frac{c}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$，所以$a=\frac{1+\sqrt{3}}{2}c$.
　所以$\triangle ABC$的面积$S=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1+\sqrt{3}}{4}c^{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}=3+\sqrt{3}$，
　解得$c = 2\sqrt{2}$.