《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

[真题再现] (2023·全国甲卷文)已知向量 $ \boldsymbol{a} = (3, 1) $，$ \boldsymbol{b} = (2, 2) $，则 $ \cos \langle \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}, \boldsymbol{a} - \boldsymbol{b} \rangle = $(B)

A.$ \frac{1}{17} $
B.$ \frac{\sqrt{17}}{17} $
C.$ \frac{\sqrt{5}}{5} $
D.$ \frac{2\sqrt{5}}{5} $

答案： 真题再现 B 因为$a = (3,1)$,$b = (2,2)$,所以$a + b = (5,3)$,$a - b = (1, -1)$,则$|a + b| = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{34}$,$|a - b| = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$,$(a + b)·(a - b) = 5×1 + 3×(-1) = 2$,所以$\cos\langle a + b, a - b\rangle = \frac{(a + b)·(a - b)}{|a + b|·|a - b|}=\frac{2}{\sqrt{34}×\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{17}}{17}$. 故选B.

[教材呈现] （北师必修二 P113A 组 T2）根据下列条件，求 $ \boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} $ 及 $ \boldsymbol{a} $ 与 $ \boldsymbol{b} $ 的夹角 $ \theta $ 的大小。（精确到 $ 1^{\circ} $）
(1) $ \boldsymbol{a} = (5, -7) $，$ \boldsymbol{b} = (6, 4) $；
(2) $ \boldsymbol{a} = (1, 1) $，$ \boldsymbol{b} = (-3, 3) $。
点评：这两题考查相同的知识点，设问的本质也是一样的，都是考查利用数量积求向量的夹角，两题的相似度极高。

答案：
(1)
已知$\vec{a}=(5,-7)$，$\vec{b}=(6,4)$，则$\vec{a}·\vec{b}=5×6 + (-7)×4 = 30 - 28 = 2$。
$\vert\vec{a}\vert=\sqrt{5^{2}+(-7)^{2}}=\sqrt{25 + 49}=\sqrt{74}$，$\vert\vec{b}\vert=\sqrt{6^{2}+4^{2}}=\sqrt{36 + 16}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$。
根据$\cos\theta=\frac{\vec{a}·\vec{b}}{\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert}=\frac{2}{\sqrt{74}×2\sqrt{13}}=\frac{2}{2\sqrt{962}}=\frac{1}{\sqrt{962}}\approx0.032$。
所以$\theta\approx88^{\circ}$。
(2)
已知$\vec{a}=(1,1)$，$\vec{b}=(-3,3)$，则$\vec{a}·\vec{b}=1×(-3)+1×3 = 0$。
$\vert\vec{a}\vert=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$，$\vert\vec{b}\vert=\sqrt{(-3)^{2}+3^{2}}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$。
根据$\cos\theta=\frac{\vec{a}·\vec{b}}{\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert}=\frac{0}{\sqrt{2}×3\sqrt{2}} = 0$。
所以$\theta = 90^{\circ}$。
综上，答案依次为：
(1)$2$，$88^{\circ}$；
(2)$0$，$90^{\circ}$。

典例 1 $\triangle ABC$ 的外心 $O$ 满足 $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\sqrt{2}\overrightarrow{OC}=\boldsymbol{0}$，$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{2}$，则 $\triangle ABC$ 的面积为 (B)

A.$\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}$
B.$\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}$
C.$\sqrt{2}$
D.$2$
-
-
-

答案： 典例 1 B 设 AB 的中点为 D，则$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\sqrt{2}\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$可化为$2\overrightarrow{OD}+\sqrt{2}\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$，即$\overrightarrow{OC}=-\sqrt{2}\overrightarrow{OD}$，所以$O$，$D$，$C$三点共线且$CD\perp AB$，所以$\triangle ABC$为等腰三角形，所以$|\overrightarrow{OA}|^{2}=|\overrightarrow{OD}|^{2}+|\overrightarrow{AD}|^{2}$，设$\triangle ABC$外接圆的半径为$R$，则$R^{2}=\frac{R^{2}}{2}+(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}$，解得$R = 1$，$CD = 1+\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}|\mathrm{AB}|·|\mathrm{CD}|=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×(1+\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{1+\sqrt{2}}{2}$，故选 B.

对点练 1. 在 $\triangle ABC$ 中，已知 $\left(\dfrac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\dfrac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}\right)·\overrightarrow{BC}=0$，且 $\dfrac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}·\dfrac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}=\dfrac{1}{2}$，则 $\triangle ABC$ 为 (A)

A.等边三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.三边均不相等的三角形

答案： 对点练 1.A $\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$，$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$分别表示$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$方向上的单位向量，$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$在角$A$的角平分线上，因为$(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|})·\overrightarrow{BC}=0$，所以$|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AC}|$，又$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}·\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}=\frac{1}{2}$，所以$\cos\langle\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\rangle=\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}·\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}=\frac{1}{2}$，则$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$的夹角为$60^{\circ}$，即$\angle BAC = 60^{\circ}$，可得$\triangle ABC$是等边三角形，故选 A.

典例 2(多选题)在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况. 假设行李包 $O$ 所受的重力为 $\boldsymbol{G}$，所受的两个拉力分别为 $\boldsymbol{F}_{1}$，$\boldsymbol{F}_{2}$(如图所示)，若 $|\boldsymbol{F}_{1}|=|\boldsymbol{F}_{2}|$，且 $\boldsymbol{F}_{1}$ 与 $\boldsymbol{F}_{2}$ 的夹角为 $\theta$，当两人拎起行李包时，则以下结论正确的是 (ACD)


A.$|\boldsymbol{F}_{1}|$ 的最小值为 $\dfrac{1}{2}|\boldsymbol{G}|$
B.$\theta$ 的范围为 $[0, \pi]$
C.当 $\theta=\dfrac{\pi}{2}$ 时，$|\boldsymbol{F}_{1}|=\dfrac{\sqrt{2}}{2}|\boldsymbol{G}|$
D.当 $\theta=\dfrac{2\pi}{3}$ 时，$|\boldsymbol{F}_{1}|=|\boldsymbol{G}|$
-
-
-

答案： 典例 2 ACD 由题意知，$F_1+F_2+G=\overrightarrow{0}$，可得$F_1+F_2=-G$，两边同时平方得$|G|^{2}=|F_1|^{2}+|F_2|^{2}+2|F_1|·|F_2|\cos\theta=2|F_1|^{2}+2|F_1|^{2}\cos\theta$，所以$|F_1|^{2}=\frac{|G|^{2}}{2(1+\cos\theta)}$，当$\theta = 0$时，$|F_1|_{\min}=\frac{1}{2}|G|$；当$\theta=\frac{\pi}{2}$时，$|F_1|=\frac{\sqrt{2}}{2}|G|$；当$\theta=\frac{2\pi}{3}$时，$|F_1|=|G|$，当$\theta=\pi$时，竖直方向没有分力与重力平衡，不成立，所以$\theta\in[0,\pi)$，故 B 错误，故选 ACD.

对点练 2. 长江流域内某地南北两岸平行，如图所示，已知游船在静水中的航行速度 $\boldsymbol{v}_{1}$ 的大小 $|\boldsymbol{v}_{1}|=10\ km/h$，水流的速度 $\boldsymbol{v}_{2}$ 的大小 $|\boldsymbol{v}_{2}|=4\ km/h$，设 $\boldsymbol{v}_{1}$ 和 $\boldsymbol{v}_{2}$ 所成的角为 $\theta(0 ＜ \theta ＜ \pi)$，若游船要从 $A$ 航行到正北方向上位于北岸的码头 $B$ 处，则 $\cos \theta$ 等于 (B)

A.$-\dfrac{\sqrt{21}}{5}$
B.$-\dfrac{2}{5}$
C.$-\dfrac{3}{5}$
D.$-\dfrac{4}{5}$

答案： 对点练 2.B 由题意知$(v_1 + v_2)· v_2 = 0$，有$|v_1|·|v_2|\cos\theta + v_2^{2}=0$，即$10×4\cos\theta + 4^{2}=0$，所以$\cos\theta=-\frac{2}{5}$，故选 B.