《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

[真题再现]
(2024·新课标Ⅱ卷) 记$ S_{n} $为等差数列$\{ a_{n}\}$的前$ n $项和. 若$ a_{3} + a_{4} = 7 $，$ 3a_{2} + a_{5} = 5 $，则$ S_{10} = $95.

答案： 真题再现 95 设$\{ a_n \}$的公差为$d$,由$a_3 + a_4 = a_1 + 2d + a_1 + 3d = 2a_1 + 5d = 7$,$3a_2 + a_5 = 3(a_1 + d) + a_1 + 4d = 4a_1 + 7d = 5$,解得$a_1 = - 4$,$d = 3$,则$S_{10} = 10a_1 + 45d = 95$.

1. 等比数列的有关概念

[微提醒] (1) 只有当两个数同号时，这两个数才有等比中项，且等比中项有两个，它们互为相反数。(2) 等比数列的奇数项符号相同，偶数项符号相同。

答案： 1.2 同一个公比 $a,G,b$ $ab$

2. 等比数列的有关公式
等比数列 $ \{ a_n \} $ 的首项为 $ a_1 $，公比为 $ q $。

$\begin{matrix}\begin{matrix}通项 \\公式\end{matrix} & \begin{matrix}a_n = $ ______ $，公式的推广：a_n = a_m · q^{n - m}。\end{matrix} \\\begin{matrix}前 n 项 \\和公式\end{matrix} & \begin{matrix}q = 1 时，S_n = na_1； \\q \neq 1 时，S_n = $ ______ $ = $ ______ $。\end{matrix}\end{matrix}$
[微提醒] 在求等比数列的前 $ n $ 项和时，易忽略 $ q = 1 $ 这一特殊情况。

答案： 2.$a_1q^{n-1}$ $\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$ $\frac{a_1-a_nq}{1-q}$

3. 等比数列的常用性质
(1) 若 $ m + n = p + q $，则$a_ma_n=a_pa_q$，其中 $ m $，$ n $，$ p $，$ q \in \mathbf{N}_+ $。特别地，若 $ 2\omega = m + n $，则$a_ma_n=a_{\omega}^2$，其中 $ m $，$ n $，$ \omega \in \mathbf{N}_+ $。
(2) $ a_k $，$ a_{k + m} $，$ a_{k + 2m} $，$·s$ 仍是等比数列，公比为$q^m$ ($ k $，$ m \in \mathbf{N}_+ $)。
(3) 若数列 $ \{ a_n \} $，$ \{ b_n \} $ 是两个项数相同的等比数列，则数列 $ \{ a_n · b_n \} $，$ \{ pa_n · qb_n \} $ 和 $ \left\{ \dfrac{pa_n}{qb_n} \right\} $ 也是等比数列 ($ p $，$ q \neq 0 $)。
(4) 等比数列 $ \{ a_n \} $ 的前 $ n $ 项和为 $ S_n $，则 $ S_n $，$S_{2n}-S_n$，$S_{3n}-S_{2n}$ 仍成等比数列，其公比为 $ q^n $。($ n $ 为偶数且 $ q = -1 $ 除外)
[微提醒] (1) 在等比数列 $ \{ a_n \} $ 中，若 $ a_m · a_n = a_p · a_q (m, n, p, q \in \mathbf{N}_+) $，则不一定有 $ m + n = p + q $ 成立，如当数列 $ \{ a_n \} $ 是非零常数列时，此结论不成立。(2) 当 $ q = -1 $ 且 $ k $ 为偶数时，$ S_k $，$ S_{2k} - S_k $，$ S_{3k} - S_{2k} $，$·s$ 不是等比数列。

答案： 3.
(1)$a_ma_n=a_pa_q$ $a_ma_n=a_{\omega}^2$
(2)$q^m$
(4)$S_{2n}-S_n$ $S_{3n}-S_{2n}$

4. 等比数列与函数的关系
(1) 等比数列 $ \{ a_n \} $ 的通项公式可变形为 $ a_n = \dfrac{a_1}{q} q^n (q \neq 1) $，它是关于 $ n $ 的指数型函数，它的图象是 $ a_n = \dfrac{a_1}{q} q^n (q \neq 1) $ 上横坐标为正整数的一系列孤立的点。
若 $ \begin{cases}a_1 ＞ 0, \\ q ＞ 1,\end{cases}$ 或 $ \begin{cases}a_1 ＜ 0, \\ 0 ＜ q ＜ 1,\end{cases}$ 则等比数列 $ \{ a_n \} $ 递 ______ ；
若 $ \begin{cases}a_1 ＞ 0, \\ 0 ＜ q ＜ 1,\end{cases}$ 或 $ \begin{cases}a_1 ＜ 0, \\ q ＞ 1,\end{cases}$ 则等比数列 $ \{ a_n \} $ 递 ______ ；
若 $ q = 1 $，则等比数列 $ \{ a_n \} $ 是常数列；若 $ q ＜ 0 $，则等比数列 $ \{ a_n \} $ 是正负项交替的摆动数列。
(2) 前 $ n $ 项和公式可以变形为 $ S_n = \dfrac{a_1}{q - 1} q^n - \dfrac{a_1}{q - 1} (q \neq 1) $，它是关于 $ n $ 的指数型函数。

答案： 4.
(1)增 减