《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

1. 点到直线的距离
(1) 如图，先求出直线 $ l $ 的单位法向量 $ \boldsymbol{n}_0 $，再求向量 $ \overrightarrow{PA} $ 在法向量 $ \boldsymbol{n}_0 $ 方向上的投影向量的长度 $ |\overrightarrow{PA} · \boldsymbol{n}_0| $ 即可.

(2) 若点 $ P $ 是直线 $ l $ 外一点，$ \boldsymbol{l}_0 $ 是直线 $ l $ 的单位方向向量，点 $ A $ 是直线 $ l $ 上任意一点，则点 $ P $ 到直线 $ l $ 的距离为 $ d = $.

答案： $\sqrt{|\overrightarrow{PA}|^2 - (\overrightarrow{PA} · \boldsymbol{l}_0)^2}$

2. 点到平面的距离
点 $ P $ 到平面 $ \alpha $ 的距离，等于点 $ P $ 与平面 $ \alpha $ 内任意一点 $ A $ 连线所得向量 $ \overrightarrow{PA} $，在平面 $ \alpha $ 的单位法向量 $ \boldsymbol{n}_0 $ 方向上所作投影向量的长度，即 $ d = |\overrightarrow{PA} · \boldsymbol{n}_0| $.

答案： 设点 $ P $ 到平面 $ \alpha $ 的垂足为 $ P' $，则：
$\overrightarrow{PP'} $ 是平面 $ \alpha $ 的法向量方向上的向量。
设 $ \boldsymbol{n}_0 $ 为平面 $ \alpha $ 的单位法向量，则点 $ P $ 到平面 $ \alpha $ 的距离 $ d $ 可以表示为：
$d = |\overrightarrow{P'P} · \boldsymbol{n}_0|$（$\overrightarrow{P'P} $ 等同于题中$\overrightarrow{PA} $ 加上$\overrightarrow{P'A} $ ，其中$\overrightarrow{P'A} $ 与法向量方向垂直，故题中$\overrightarrow{PA} $ 与$ \overrightarrow{P'P} $效果相同）。
由于 $ \boldsymbol{n}_0 $ 是单位法向量，因此：
$d = |\overrightarrow{PA} · \boldsymbol{n}_0|$，
其中，$ A $ 是平面 $ \alpha $ 内的任意一点。
综上所述，点$ P $到平面$ \alpha $的距离：$d = |\overrightarrow{PA} · \boldsymbol{n}_0|$。

1. (多选题) 下列结论不正确的是 (ABD)

A.平面 $ \alpha $ 上不共线的三点到平面 $ \beta $ 的距离相等，则 $ \alpha // \beta $
B.点到直线的距离也就是该点与直线上任一点连线的长度
C.直线 $ l $ 平行于平面 $ \alpha $，则直线 $ l $ 上各点到平面 $ \alpha $ 的距离相等
D.直线 $ l $ 上两点到平面 $ \alpha $ 的距离相等，则 $ l $ 平行于平面 $ \alpha $

答案： 1.ABD

2. (链接北师选择性必修一 P139T2) 平面 $ \alpha $ 的一个法向量为 $ \boldsymbol{n} = (1, 2, 1) $，$ \overrightarrow{AB} = (-1, -1, 2) $，$ A \notin \alpha $，$ B \in \alpha $，则点 $ A $ 到平面 $ \alpha $ 的距离为 (B)

A.1
B.$ \frac{\sqrt{6}}{6} $
C.$ \frac{\sqrt{3}}{3} $
D.$ \frac{1}{3} $

答案： 2.B 因为$\overrightarrow{AB}=(-1,-1,2)$，平面$\alpha$的一个法向量为$\boldsymbol{n}=(1,2,1)$，所以点A到平面$\alpha$的距离为$\frac{|\overrightarrow{AB}· \boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{n}|} =\frac{\sqrt{6} }{6}$。故选B。

3. (链接北师选择性必修一 P138T6) 如图，已知正方体 $ ABCD - A_1B_1C_1D_1 $ 中，$ E $，$ F $ 分别为 $ BC $，$ CD $ 的中点，$ AB = 2 $，则 $ B_1 $ 到平面 $ C_1EF $ 的距离是$\frac{4}{3}$.

答案：
3.$\frac{4}{3}$ 如图建立空间直角坐标系，则$B_1(2,2,2)$，$C_1(0,2,2)$，$E(1,2,0)$，$F(0,1,0)$，所以$\overrightarrow{C_1B_1}=(2,0,0)$，$\overrightarrow{C_1E}=(1,0,-2)$，$\overrightarrow{EF}=(-1,-1,0)$，设平面$C_1EF$的法向量为$\boldsymbol{m}=(x,y,z)$，则$\begin{cases} \boldsymbol{m}· \overrightarrow{C_1E}=x - 2z = 0\\\boldsymbol{m}· \overrightarrow{EF}=-x - y = 0\end{cases}$，令$z = 1$，则$\boldsymbol{m}=(2,-2,1)$，所以$B_1$到平面$C_1EF$的距离$d=\frac{|\overrightarrow{C_1B_1}· \boldsymbol{m}|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} } =\frac{4}{3}$。

4. (链接北师选择性必修一 P139 例 15) 已知直线 $ l $ 经过点 $ A(2, 3, 1) $，且向量 $ \boldsymbol{n} = \left( \frac{\sqrt{2}}{2}, 0, \frac{\sqrt{2}}{2} \right) $ 为 $ l $ 的一个单位方向向量，则点 $ P(4, 3, 2) $ 到 $ l $ 的距离为$\frac{\sqrt{2} }{2}$.

答案： 4.$\frac{\sqrt{2} }{2}$ 因为$\overrightarrow{PA}=(-2,0,-1)$，且$\boldsymbol{n}=(\frac{\sqrt{2} }{2} ,0,\frac{\sqrt{2} }{2} )$为$l$的一个单位方向向量，故点$P$到$l$的距离为$d=\sqrt{|\overrightarrow{PA}|^{2}-|\overrightarrow{PA}· \boldsymbol{n}|^{2} }=\sqrt{5 - |(-\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2} }{2} )|^2} =\frac{\sqrt{2} }{2}$。