《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

如图所示，四边形$ABCD$为矩形，$AD\perp$平面$ABE$，$AE = EB = BC$。设$M$在线段$AB$上，且满足$AM = 2MB$，则线段$CE$上是否存在一点$N$，使得$MN//$平面$DAE$？

答案：
解：存在.如图所示，在$\triangle ABE$中，过点$M$作$MG // AE$交$BE$于点$G$，在$\triangle BEC$中，过点$G$作$GN // BC$交$EC$于点$N$，连接$MN$，则由比例关系易得$CN = \frac{1}{3}CE$.因为$MG // AE$，$MG \not\subset$平面$ADE$，$AE \subset$平面$ADE$，所以$MG //$平面$ADE$.同理，$GN //$平面$ADE$，又$GN \cap MG = G$，$GN$,$MG \subset$平面$MGN$，所以平面$MGN //$平面$ADE$.因为$MN \subset$平面$MGN$，所以$MN //$平面$ADE$，所以点$N$为线段$CE$上靠近点$C$的一个三等分点.

[真题再现] （2024·全国甲卷理节选）
如图，在以$A$，$B$，$C$，$D$，$E$，$F$为顶点的五面体中，四边形$ABCD$与四边形$ADEF$均为等腰梯形，$EF// AD$，$BC// AD$，$AD = 4$，$AB = BC = EF = 2$，$ED = \sqrt{10}$，$FB = 2\sqrt{3}$，$M$为$AD$的中点。
证明：$BM//$平面$CDE$。

答案： 证明：因为$BC // AD$，$EF = 2$，$AD = 4$，$M$为$AD$的中点，所以$BC // MD$，$BC = MD$，四边形$BCDM$为平行四边形，所以$BM // CD$，又因为$BM \not\subset$平面$CDE$，$CD \subset$平面$CDE$，所以$BM //$平面$CDE$.

[教材呈现] （北师必修二 P236T7）
如图，在正方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，点$E$，$F$分别为棱$BC$，$C_1D_1$的中点，求证：$EF//$平面$BB_1D_1D$。

点评：这两题考查相同的知识点，设问的本质也是一样的，都是考查直线与平面平行的判定，都是借助构造平行四边形证明线线平行进而证明线面平行。

答案： 证明：取$B_1C_1$的中点$G$，连接$EG$，$FG$。
在正方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，
因为$E$，$G$分别为$BC$，$B_1C_1$的中点，
所以$EG // BB_1$，且$EG = BB_1$。
因为$F$，$G$分别为$C_1D_1$，$B_1C_1$的中点，
所以$FG // B_1D_1$，且$FG = \frac{1}{2}B_1D_1$。
又因为$BB_1 \subset$平面$BB_1D_1D$，$B_1D_1 \subset$平面$BB_1D_1D$，
$EG \not\subset$平面$BB_1D_1D$，$FG \not\subset$平面$BB_1D_1D$，
所以$EG //$平面$BB_1D_1D$，$FG //$平面$BB_1D_1D$。
因为$EG \cap FG = G$，
所以平面$EFG //$平面$BB_1D_1D$。
又因为$EF \subset$平面$EFG$，
所以$EF //$平面$BB_1D_1D$。