《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

典例4 (1)已知$a＜5$，且$ae^{5}=5e^{a}$，$b＜4$且$be^{4}=4e^{b}$，$c＜3$且$ce^{3}=3e^{c}$，则 (D)

A.$c＜b＜a$
B.$b＜c＜a$
C.$a＜c＜b$
D.$a＜b＜c$

答案：
(1)D
(1)三个等式可变形为$\frac{e^{5}}{5}=\frac{e^{4}}{4},\frac{e^{4}}{4}=\frac{e^{3}}{3},\frac{e^{3}}{3}=\frac{e^{c^{\prime}}}{c^{\prime}}$。因为$ae^{5}=5e^{a},a＜5$，所以$a＞0$。同理$b＞0,c＞0$。构造函数$f(x)=\frac{e^{x}}{x},x＞0$，则$f^{\prime}(x)=\frac{e^{x}(x-1)}{x^{2}}$。当$0＜x＜1$时，$f^{\prime}(x)＜0,f(x)$单调递减；当$x＞1$时，$f^{\prime(x)}＞0,f(x)$单调递增。因为$f(5)=f(a)$，而$0＜a＜5$，故$0＜a＜1$。同理，$0＜b＜1,0＜c＜1,f(4)=f(b),f(3)=f(c)$。因为$f(5)＞f(4)＞f(3)$，所以$f(a)＞f(b)＞f(c)$，$0＜a＜b＜c＜1$。故选D。

(2)(2025·江西萍乡模拟)已知$a=\frac{\ln 2}{4}$，$b=\frac{1}{2e}$，$c=\frac{2-\ln 2}{e^{2}}$，则这三个数的大小关系为 (C)

A.$c＜b＜a$
B.$a＜b＜c$
C.$a＜c＜b$
D.$c＜a＜b$

答案：
(2)C
(2)令$f(x)=\frac{\ln x}{2x},f^{\prime}(x)=\frac{2-2\ln x}{(2x)^{2}}$，令$f^{\prime}(x)＞0$得$0＜x＜e$，令$f^{\prime}(x)＜0$得$x＞e$，所以$f(x)$在$(0,e)$上单调递增，在$(e,+\infty)$上单调递减，因为$c=\frac{2-\ln 2}{e^{2}}=\frac{\ln\frac{e^{2}}{2}}{e^{2}},a=\frac{\ln 2}{4}=\frac{\ln 4}{8}=f(4),b=\frac{1}{2e}=\frac{\ln e^{2}}{2e^{2}}=f(e^{2})$，且$a=\frac{\ln 2}{4}=\frac{\ln 4}{8}=f(4)$，$b=\frac{1}{2e}=\frac{\ln e^{2}}{2e^{2}}=f(e)$，则$f(e)＞f(\frac{e^{2}}{2})＞f(4)$，即$a＜c＜b$。故选C。

对点练2. (1)(2025·四川德阳模拟)已知$a=4\ln3^{\pi}$，$b=3\pi$，$c=4\ln\pi^{3}$，则$a$，$b$，$c$的大小关系是 (B)

A.$c＜b＜a$
B.$b＜c＜a$
C.$b＜a＜c$
D.$a＜b＜c$

答案：
(1)B
(1)因为$a=4\ln 3^{n}=4\pi\ln 3,b=3\pi,c=4\ln \pi^{3}=4×3\ln \pi$，构造函数$f(x)=\frac{\ln x}{x}$，则$f^{\prime}(x)=\frac{1-\ln x}{x^{2}}$，当$x\in(0,e)$时，$f^{\prime}(x)＞0,f(x)$单调递增，当$x\in(e,+\infty)$时，$f^{\prime}(x)＜0,f(x)$单调递减。因为$\pi＞3＞e$，所以$f(\pi)＜f(3)$，即$\frac{\ln \pi}{\pi}＜\frac{\ln 3}{3}$，所以$3\ln \pi＜\pi\ln 3$，即$4×3\ln \pi＜4×\pi\ln 3$，即$c＜a$；又$\ln \pi＞\ln e=1$，所以$3\pi＜3×4＜4×3\ln \pi$，即$b＜c＜a$。故选B。

(2)(2025·陕西商洛模拟)已知函数$f(x)=2x\ln x-ax^{2}$，若对任意的$x_{1}$，$x_{2}\in(0,+\infty)$，当$x_{1}＞x_{2}$时，都有$2x_{1}+f(x_{2})＞2x_{2}+f(x_{1})$，则实数$a$的取值范围为 (C)

A.$[\frac{1}{2e},+\infty)$
B.$[1,+\infty)$
C.$[\frac{1}{e},+\infty)$
D.$[2,+\infty)$
请完成课时测评22

答案：
(2)C
(2)不等式$2x_{1}+f(x_{2})＞2x_{2}+f(x_{1})$等价于$f(x_{1})-2x_{1}＜f(x_{2})-2x_{2}$，令$F(x)=f(x)-2x,x\in(0,+\infty)$，根据题意对任意的$x_{1},x_{2}\in(0,+\infty)$，当$x_{1}＞x_{2}$时，$F(x_{1})＞F(x_{2})$，所以函数$F(x)=f(x)-2x$在$(0,+\infty)$上单调递增，所以$F^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)-2=2\ln x-2ax\leqslant0$在$(0,+\infty)$上恒成立，即$\frac{\ln x}{x}\leqslant a$在$(0,+\infty)$上恒成立。令$g(x)=\frac{\ln x}{x},x\in(0,+\infty)$，则$g^{\prime}(x)=\frac{1-\ln x}{x^{2}}$，所以当$x\in(0,e)$时，$g^{\prime}(x)＞0,g(x)$单调递增，当$x\in(e,+\infty)$时，$g^{\prime}(x)＜0,g(x)$单调递减。所以$g(x)_{\max}=g(e)=\frac{1}{e}$，所以$a\geqslant\frac{1}{e}$。故选C。

1. 函数的极值


[微提醒] (1) 函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能称为极值点. (2) 在函数的整个定义域内，极值不一定是唯一的，有可能有多个极大值或极小值. (3) 极大值与极小值之间无确定的大小关系.

答案： 1.极大值点 极小值点 极大值 极小值 极值点 极值

2. 函数的最值
(1) 最值点
最大值点：函数 $y = f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的最大值点 $x_0$ 指的是：函数 $f(x)$ 在这个区间上所有点处的函数值都不超过 $f(x_0)$.
最小值点：函数 $y = f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的最小值点 $x_0$ 指的是：函数 $f(x)$ 在这个区间上所有点处的函数值都不小于 $f(x_0)$.
(2) 最值：函数的最大值和最小值统称为最值.
[微提醒] 函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.

答案： 2.
(1)不超过 不小于
(2)最大值 最小值