《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

1. (多选题)下列说法正确的是(BD)

A.函数 $ y = 2x^{\frac{1}{2}} $ 是幂函数
B.当 $ \alpha ＞ 0 $ 时，幂函数 $ y = x^{\alpha} $ 在 $ (0, +\infty) $ 上是增函数
C.函数 $ y = x + \dfrac{m}{x} $ 的单调增区间是 $ (-\infty, -\sqrt{m}) $，$ (\sqrt{m}, +\infty) $。
D.若幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点

答案： 1.BD

2. 已知幂函数 $ f(x) $ 的图象经过点 $ \left( 5, \dfrac{1}{5} \right) $，则 $ f(8) $ 的值等于(D)

A.4
B.$ \dfrac{1}{4} $
C.8
D.$ \dfrac{1}{8} $

答案： 2.D 设幂函数$f(x) = x^{\alpha}$，因为幂函数$f(x)$的图象经过点$\left(5, \frac{1}{5}\right)$，所以$f(5) = 5^{\alpha} = \frac{1}{5}$，解得$\alpha = -1$。所以$f(x) = x^{-1}$，则$f(8) = 8^{-1} = \frac{1}{8}$。故选D。

3. 函数 $ f(x) = \dfrac{x + 1}{x + 2} $ 的图象的对称中心为(-2,1)。

答案： 3.$(-2,1)$ $f(x) = \frac{x + 1}{x + 2} = \frac{x + 2 - 1}{x + 2} = 1 - \frac{1}{x + 2}$，故其图象的对称中心为点$(-2,1)$。

4. 设 $ \max \{ a, b \} = \begin{cases}a, a \geq b, \\ b, a ＜ b,\end{cases}$ 则函数 $ f(x) = \max \{ x, x^2 \} $ 的最小值为 ______ 。

答案：
4.0 作出$f(x)$的图象如图中所示的实线部分，由图可知$f(x)$的最小值为0。

1. 若四个幂函数 $ y = x^a $，$ y = x^b $，$ y = x^c $，$ y = x^d $ 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则 $ a $，$ b $，$ c $，$ d $ 的大小关系是(B)


A.$ d ＞ c ＞ b ＞ a $
B.$ a ＞ b ＞ c ＞ d $
C.$ d ＞ c ＞ a ＞ b $
D.$ a ＞ b ＞ d ＞ c $

答案： 1.B 由幂函数的图象可知，在区间$(0,1)$上幂函数的指数越大，函数图象越接近$x$轴，由题图知$a ＞ b ＞ c ＞ d$。故选B。

2. (多选题)已知幂函数 $ f(x) $ 的图象经过点 $ \left( \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{2} \right) $，则下列命题正确的有(BCD)

A.函数 $ f(x) $ 为偶函数
B.函数 $ f(x) $ 的定义域为 $ [0, +\infty) $
C.函数 $ f(x) $ 的值域为 $ [0, +\infty) $
D.$ f(x) $ 在其定义域上单调递增

答案： 2.BCD 设$f(x) = x^{\alpha}$，由$f(x)$的图象经过点$\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right)$，得$\left(\frac{1}{4}\right)^{\alpha} = \frac{1}{2}$，解得$\alpha = \frac{1}{2}$，所以$f(x) = x^{\frac{1}{2}}$。对于A，$f(x) = x^{\frac{1}{2}}$的定义域为$[0, +\infty)$，不关于原点对称，所以$f(x)$不具有奇偶性，故A错误；对于B，根据偶次方根的被开方数非负得$f(x) = x^{\frac{1}{2}}$的定义域为$[0, +\infty)$，故B正确；对于C，由$f(x) = x^{\frac{1}{2}}$在$[0, +\infty)$上是增函数，所以函数$f(x)$的值域为$[0, +\infty)$，故C正确；对于D，由$f(x) = x^{\frac{1}{2}}$在$[0, +\infty)$上是增函数，故D正确。故选BCD。

3. (2025·石家庄模拟)已知 $ a = \left( \dfrac{1}{2} \right)^{\frac{4}{3}} $，$ b = \left( \dfrac{1}{3} \right)^{\frac{2}{3}} $，$ c = \left( \dfrac{1}{25} \right)^{\frac{1}{3}} $，则 $ a $，$ b $，$ c $ 的大小关系为(B)

A.$ a ＜ b ＜ c $
B.$ c ＜ a ＜ b $
C.$ a ＞ b ＞ c $
D.$ b ＜ c ＜ a $

答案： 3.B 由$a = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{5}}$，$b = \left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{5}}$，$c = \left(\frac{1}{25}\right)^{\frac{1}{5}}$，得$a = \left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{5}}$，$b = \left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{5}}$，$c = \left(\frac{1}{5}\right)^{\frac{1}{5}}$。因为幂函数$y = x^{\frac{1}{5}}$在区间$(0, +\infty)$上单调递增，且$\frac{1}{5} ＜ \frac{1}{4} ＜ \frac{1}{3}$，所以$\left(\frac{1}{5}\right)^{\frac{1}{5}} ＜ \left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{5}} ＜ \left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{5}}$，即$c ＜ a ＜ b$。故选B。

(1) 已知 $ f(x) = \dfrac{4x^2 - 12x - 3}{2x + 1} $，$ x \in [0, 1] $，利用上述性质，求函数 $ f(x) $ 的值域；

答案：
(1) 解：$y = f(x) = \frac{4x^{2} - 12x - 3}{2x + 1} = \frac{(2x + 1)^{2} - 8(2x + 1) + 4}{2x + 1} = 2x + 1 + \frac{4}{2x + 1} - 8$，
设$u = 2x + 1$，$x \in [0,1]$，$1 \leq u \leq 3$，则$y = u + \frac{4}{u} - 8$，$u \in [1,3]$。
由已知性质得，$y = u + \frac{4}{u} - 8$在$[1,2]$上单调递减，在$[2,3]$上单调递增。
所以当$u = 2$时，$y$取得最小值$-4$，
又当$u = 1$时，$y = -3$，当$u = 3$时，$y = -\frac{11}{3}$。
所以$-4 \leq y \leq -3$，即$f(x)$的值域为$[-4, -3]$。

(2) 对于 (1) 中的函数 $ f(x) $ 和函数 $ g(x) = -x + \dfrac{1}{x} - 2a $，若 $ \forall x_1 \in [0, 1] $，$ \exists x_2 \in [1, 2] $，使得 $ g(x_2) = f(x_1) $ 成立，求实数 $ a $ 的取值范围。

答案：
(2) 解：因为$g(x) = -x + \frac{1}{x} - 2a$在$[1,2]$上为减函数，
故$g(x) \in \left[-\frac{3}{2} - 2a, -2a\right]$。
由题意，$f(x)$的值域是$g(x)$的值域的子集，
所以$\begin{cases} -\frac{3}{2} - 2a \leq -4 \\ -2a \geq -3 \end{cases}$，所以$\frac{5}{4} \leq a \leq \frac{3}{2}$，
所以实数$a$的取值范围为$\left[\frac{5}{4}, \frac{3}{2}\right]$。