《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

1. 角的概念

[微提醒] 相等的角终边一定相同，但终边相同的角不一定相等. 终边相同的角有无数个，它们之间相差 $360^{\circ}$ 的整数倍.

答案： 顶点；
(1)正角；负角；
(2)象限角

2. 弧度制
(1)弧度的概念：在单位圆中，把长度等于的弧所对的圆心角称为 $1$ 弧度的角，弧度单位用符号 $rad$ 表示. 以作为单位来度量角的方法，称作弧度制.
(2)弧度与角度的换算

[微提醒] 利用扇形的弧长和面积公式解题要注意单位必须是弧度制，同一个问题中度量单位要一致，不可弧度与角度混用.

答案：
(1)半径长；弧度
(2)$\left(\frac{180}{\pi}\right)^{\circ}$；$\alpha r$

3. 任意角的三角函数
(1)任意角的三角函数的定义：设角 $\alpha$ 终边上除原点外的一点 $Q(x, y)$，则 $\sin \alpha = \frac{y}{r}$，$\cos \alpha = \frac{x}{r}$，$\tan \alpha = \frac{y}{x}(x \neq 0)$. 其中 $r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$.
(2)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图.

[微提醒] 三角函数就是以 $\alpha$ 为自变量，以比值为函数值的函数，它的函数值不会随着点 $Q$ 在 $\alpha$ 终边上的位置的改变而改变.

答案： 根据题目中三角函数在各象限内的符号规律：
(1) $\sin \alpha$：
当角$\alpha$的终边在第一、二象限时，$\sin \alpha\gt0$；
当角$\alpha$的终边在第三、四象限时，$\sin \alpha\lt0$。
从给定图中可知$\sin \alpha$的图示符合“二正弦”中第二象限正，第一象限正的情况，即终边在第一、二象限时$\sin \alpha$为正，终边在第三、四象限时$\sin \alpha$为负。
(2) $\cos \alpha$：
当角$\alpha$的终边在第一、四象限时，$\cos \alpha\gt0$；
当角$\alpha$的终边在第二、三象限时，$\cos \alpha\lt0$。
从给定图中可知$\cos \alpha$的图示符合“四余弦”中第四象限正，第一象限正的情况，即终边在第一、四象限时$\cos \alpha$为正，终边在第二、三象限时$\cos \alpha$为负。
(3) $\tan \alpha$：
当角$\alpha$的终边在第一、三象限时，$\tan \alpha\gt0$；
当角$\alpha$的终边在第二、四象限时，$\tan \alpha\lt0$。
从给定图中可知$\tan \alpha$的图示符合“三正切”中第三象限正，第一象限正的情况，即终边在第一、三象限时$\tan \alpha$为正，终边在第二、四象限时$\tan \alpha$为负。
综上，按照三角函数值在各象限内的符号规律，结合图示可准确判断三角函数值的正负性。

1. (多选题)下列说法中正确的是(BD)

A.锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角
B.若角 $\alpha$ 的终边过点 $P(-3, 4)$，则 $\cos \alpha = -\frac{3}{5}$
C.若 $\sin \alpha ＞ 0$，则 $\alpha$ 是第一或第二象限角
D.若圆心角为 $\frac{\pi}{3}$ 的扇形的弧长为 $\pi$，则该扇形的面积为 $\frac{3\pi}{2}$

答案： 1.BD