《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

(1)(2025·重庆模拟)已知函数$f(1 - x)=\dfrac{1 - x^{2}}{x^{2}}(x\neq0)$，则$f(x)=$(B)
A. $\dfrac{1}{(x - 1)^{2}}-1(x\neq0)$
B. $\dfrac{1}{(x - 1)^{2}}-1(x\neq1)$
C. $\dfrac{4}{(x - 1)^{2}}-1(x\neq0)$
D. $\dfrac{4}{(x - 1)^{2}}-1(x\neq1)$
(2) 已知函数$f(x)$满足$f(x)+2f(2 - x)=\dfrac{1}{x}-1$，则$f(x)=$$\frac{1}{3}(2 - x)-1-\frac{1}{x}(x\neq2$且$x\neq0)$.

答案：
(1)B
(2)$\frac{1}{3}(2 - x)-1-\frac{1}{x}(x\neq2$且$x\neq0)$

(2025·湖北武汉期中)已知函数$f(x)=\begin{cases}\sin x,x\gt0,\\\left(\dfrac{2}{3\pi}\right)^{x},x\leqslant0,\end{cases}$则$f(f(-1))$的值为( )

A.$-1$
B.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
C.$-\sin1$
D.$\dfrac{3\pi}{2}$

答案： 典例2A因为$f(x)=\begin{cases}\sin x,x＞0,\frac{2}{3\pi}),x\leq0,\end{cases}$所以$f(-1)=(\frac{2}{3\pi})^{-1}=\frac{3\pi}{2}，$所以$f(f(-1))=f(\frac{3\pi}{2})=\sin\frac{3\pi}{2}=-1.$故选A.

(1)(2025·浙江杭州期中)设$f(x)=\begin{cases}\sqrt{x},0\lt x\lt1,\\2(x - 1),x\geqslant1,\end{cases}$若$f(m)=f(m + 1)$，则$f\left(\dfrac{1}{m}\right)=$( )

A.$12$
B.$16$
C.$2$
D.$6$

答案： 典例3
(1)D

(2)(2025·重庆质检)已知函数$f(x)=\begin{cases}\log_{2}x,x\gt1,\\x^{2}-1,x\leqslant1,\end{cases}$则$f(x)\lt f(x + 1)$的解集为 ______ .

答案：
(2) ($-\frac{1}{2},+\infty$)

(1)(多选题)已知函数$f(x)=\begin{cases}x^{2},-2\leqslant x\lt1,\\-x + 2,x\geqslant1,\end{cases}$则下列关于函数$f(x)$的结论正确的是( )
A. $f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$
B. $f(x)$的值域为$(-\infty,4]$
C. 若$f(x)=2$，则$x$的值是$-\sqrt{2}$
D. $f(x)\lt1$的解集为$(-1,1)$
(2)(双空题)已知函数$f(x)=\begin{cases}-x^{2}-3x + 2,x\lt-1,\\2^{x - 3},x\geqslant-1,\end{cases}$若$f(a)=4$，则实数$a$的值是 ______ ；若$f(a)\geqslant2$，则实数$a$的取值范围是 ______ .

答案：
(1)BC
(2)5或$[-3,-1)\cup[4,+\infty)$

真题再现
(2022·浙江卷)已知函数$f(x)=\begin{cases}-x^{2}+2,x\leqslant1,\\x+\dfrac{1}{x}-1,x\gt1,\end{cases}$则$f\left(f\left(\dfrac{1}{2}\right)\right)=$ ______ ；若当$x\in[a,b]$时，$1\leqslant f(x)\leqslant3$，则$b - a$的最大值是 ______ .

答案： 真题再现$\frac{37}{28}$ $3+\sqrt{3}$由已知$f(\frac{1}{2})=-(\frac{1}{2})^{2}+2=\frac{7}{4}$，$f(\frac{7}{4})=\frac{7}{4}+\frac{4}{7}-1=\frac{37}{28}$，所以$f(f(\frac{1}{2}))=\frac{37}{28}$.当$x\leq1$时，由$1\leq f(x)\leq3$可得$1\leq -x^{2}+2\leq3$，所以$-1\leq x\leq1$，当$x＞1$时，由$1\leq f(x)\leq3$可得$1\leq x+\frac{1}{x}-1\leq3$，所以$1＜x\leq2+\sqrt{3}$.综上所述，$1\leq f(x)\leq3$等价于$-1\leq x\leq2+\sqrt{3}$，所以$[a,b]\subseteq[-1,2+\sqrt{3}]$，则$b - a$的最大值为$3+\sqrt{3}$.

教材呈现
(北师必修一 P70T2(2))已知$f(x)=\begin{cases}x^{2}-1,x\geqslant0,\\x + 2,x\lt0,\end{cases}$求$f(-5)$，$f(f(-1))$.
点评：本题与教材习题角度相同，考查分段函数的求值；然后在教材的基础上增加不等式的考查，是源于教材、高于教材的具体体现.

答案： 求$f(-5)$
因为$-5\lt0$，所以代入$f(x)=x + 2$，得：
$f(-5)=-5 + 2=-3$
求$f(f(-1))$
1. 先求内层$f(-1)$：
因为$-1\lt0$，代入$f(x)=x + 2$，得：
$f(-1)=-1 + 2=1$
2. 再求外层$f(1)$：
因为$1\geqslant0$，代入$f(x)=x^2 - 1$，得：
$f(1)=1^2 - 1=0$
故$f(f(-1))=0$
结论：$f(-5)=-3$，$f(f(-1))=0$