《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

如图，圆$O$是边长为$2\sqrt{3}$的等边$\triangle ABC$的内切圆，其与$BC$边相切于点$D$，点$M$为圆上任意一点，$\overrightarrow{BM}=x\overrightarrow{BA}+y\overrightarrow{BD}(x,y \in \mathbf{R})$，则$2x + y$的最大值为(C)


A.$\sqrt{2}$
B.$\sqrt{3}$
C.$2$
D.$2\sqrt{2}$
...

答案：
典例1 C 设圆O与AB,AC边分别相切于点E、点N,由题知$,BM = x\overrightarrow{BA} + y\overrightarrow{BD}=2x · \frac{1}{2}\overrightarrow{BA} + y\overrightarrow{BD}=2x\overrightarrow{BE} + y\overrightarrow{BD},$如图,作出定值k为1的等和线DE,DE与BO相交于点P,AC是过圆上的点最远的等和线,当M在N点所在的位置时,2x + y最大,设2x + y = k,则$k = \frac{|\overrightarrow{NB}|}{|\overrightarrow{PB}|}=2,$所以2x + y的最大值为2.故选C.
　　　　　　　　　　　　　　

1. (一题多解)(2024·安徽六安模拟)如图，在平行四边形$ABCD$中，$AC$，$BD$相交于点$O$，$E$为线段$AO$的中点。若$\overrightarrow{BE}=\lambda\overrightarrow{BA}+\mu\overrightarrow{BD}(\lambda,\mu \in \mathbf{R})$，则$\lambda + \mu =$(B)


A.$1$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{1}{2}$
2. (一题多解)给定两个长度为$1$的平面向量$\overrightarrow{OA}$和$\overrightarrow{OB}$，它们的夹角为$\frac{2\pi}{3}$，如图所示，点$C$在以$O$为圆心的$\widehat{AB}$上运动，若$\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}(x,y \in \mathbf{R})$，则$x + y$的最大值是2。

答案：
对点练1.
(1)B
(2)2
(1)法一(常规法)：因为E为线段AO的中点,所以$\overrightarrow{BE} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BO}) = \frac{1}{2}(\overrightarrow{BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BD}) = \frac{1}{2}\overrightarrow{BA} + \frac{1}{4}\overrightarrow{BD}= \lambda\overrightarrow{BA} + \mu\overrightarrow{BD}，$所以$\lambda = \frac{1}{2},\mu = \frac{1}{4},$则$\lambda + \mu = \frac{3}{4}.$故选B.
　法二(等和线法)：如图,AD是定值为1的等和线,延长BE交AD于点F,过点E作AD的平行线,设$\lambda + \mu = k,$则$k = \frac{|\overrightarrow{BE}|}{|\overrightarrow{BF}|}.$由图易知$,\frac{|\overrightarrow{BE}|}{|\overrightarrow{BF}|} = \frac{3}{4}.$故选B.
　　　　　　　　　　　　　　
(2)法一：以O为坐标原点,OA所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,如图①所示,则$A(1,0),B( - \frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}),$设$\angle AOC = \alpha(\alpha \in [0,\frac{2\pi}{3})),$则$C(\cos\alpha,\sin\alpha).$由$\overrightarrow{OC} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB} = (x - \frac{1}{2}y,\frac{\sqrt{3}}{2}y),$
得$\begin{cases} \cos\alpha = x - \frac{1}{2}y, \\ \sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}y. \end{cases}$
所以$x = \cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{3}\sin\alpha,y = \frac{2\sqrt{3}}{3}\sin\alpha,$所以x + y
$= \cos\alpha + \sqrt{3}\sin\alpha = 2\sin(\alpha + \frac{\pi}{6}),$又$\alpha \in [0,\frac{2\pi}{3}],$所以当$\alpha = \frac{\pi}{3}$时,x + y取得最大值2.
　　 　　
法二：令x + y = k,在所有与直线AB平行的直线中,切线离圆心最远,如图②,即此时k取得最大值,结合角度,不难得到$k = \frac{|\overrightarrow{OD}|}{|\overrightarrow{OE}|}=2.$

1. 如图所示，在长方形$ABCD$中，$AB = 4\sqrt{5}$，$AD = 8$，$E$，$O$，$F$为线段$BD$的四等分点，则$\overrightarrow{AE} · \overrightarrow{AF}=$27。

答案： 典例$2 (1)27 (1)BD = \sqrt{AB^{2} + AD^{2}} = 12,$所以AO = 6,OE = 3,所以由极化恒等式知$\overrightarrow{AE} · \overrightarrow{AF} = AO^{2} - OE^{2} = 36 - 9 = 27.$

2. 如图，在$\triangle ABC$中，$D$是$BC$的中点，$E$，$F$是$AD$上的两个三等分点。$\overrightarrow{BA} · \overrightarrow{CA} = 4$，$\overrightarrow{BF} · \overrightarrow{CF} = -1$，则$\overrightarrow{BE} · \overrightarrow{CE}$的值为$\frac{7}{8}$。

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答案： 典例$2 (2)\frac{7}{8} (2)$设BD = DC = m,AE = EF = FD = n,则AD = 3n.根据向量的极化恒等式,得$\overrightarrow{AB} · \overrightarrow{AC} = AD^{2} - DB^{2} = 9n^{2} - m^{2} = 4①,\overrightarrow{FB} · \overrightarrow{FC} = FD^{2} - DB^{2} = n^{2} - m^{2} = - 1②,$联立①②,解得$n^{2} = \frac{5}{8},m^{2} = \frac{13}{8}.$因此$\overrightarrow{EB} · \overrightarrow{EC} = \overrightarrow{ED}^{2} - \overrightarrow{DB}^{2} = 4n^{2} - m^{2} = \frac{7}{8},$即$\overrightarrow{BE} · \overrightarrow{CE} = \frac{7}{8}.$

1. 等边三角形$ABC$的外接圆的半径为$2$，点$P$是该圆上的动点，则$\overrightarrow{PA} · \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PB} · \overrightarrow{PC}$的最大值为(C)

A.$4$
B.$7$
C.$8$
D.$11$

答案：
典例3
(1)C
(1)因为$\triangle ABC$为等边三角形,其外接圆的半径为2,所以以三角形的外接圆圆心为原点建立平面直角坐标系,如图,则$A(-1,\sqrt{3}),B(2,0),C(-1, - \sqrt{3}),$易知$AC \perp x$轴,交x轴于M点,取BM的中点为N,连接PN,PM,PA,PB,PC.所以$\overrightarrow{PA} · \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PB} · \overrightarrow{PC} = \overrightarrow{PB} · (\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PC}) = \overrightarrow{PB} · 2\overrightarrow{PM} = 2\overrightarrow{PM} · \overrightarrow{PB}.$由极化恒等式得$,\overrightarrow{PM} · \overrightarrow{PB} = \overrightarrow{PN}^{2} - \overrightarrow{NB}^{2}.$其中|$\overrightarrow{NB}$|$ = \frac{1}{2}$|$\overrightarrow{MB}$|$ = \frac{3}{2},\frac{3}{2} \leq $|$\overrightarrow{PN}$|$ \leq \frac{5}{2},$所以$\overrightarrow{PM} · \overrightarrow{PB} = \overrightarrow{PN}^{2} - \frac{9}{4} \in [0,4],$所以$\overrightarrow{PA} · \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PB} · \overrightarrow{PC} \in [0,8],$即所求最大值为8.故选C.
　　　　　　　　　　　　　

2. (2024·河南郑州、开封重点中学联考)如图所示，$\triangle ABC$是边长为$8$的等边三角形，点$P$为$AC$边上的一个动点，长度为$6$的线段$EF$的中点为点$B$，则$\overrightarrow{PE} · \overrightarrow{PF}$的取值范围是[39,55]。

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答案： 典例3
(2)[39,55]
(2)因为B是EF的中点,且EF = 6,由极化恒等式得$,\overrightarrow{PE} · \overrightarrow{PF} = \overrightarrow{PB}^{2} - \overrightarrow{BF}^{2} = \overrightarrow{PB}^{2} - 9,$又知$\triangle ABC$是边长为8的等边三角形,P在AC上运动,则|$\overrightarrow{BP}$|$ \in [4\sqrt{3},8],$所以|$\overrightarrow{PB}$|$^{2} \in [48,64],$所以$\overrightarrow{PE} · \overrightarrow{PF} = \overrightarrow{PB}^{2} - 9 \in [39,55].$