《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

(2022·新课标 I 卷)记△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知$\frac{\cos A}{1 + \sin A} = \frac{\sin 2B}{1 + \cos 2B}$.

答案： 答案略

(1)若 C = $\frac{2\pi}{3}$，求 B；

答案：
(1)因为$\frac{\cos A}{1 + \sin A} = \frac{\sin 2B}{1 + \cos 2B} = \frac{2\sin B\cos B}{2\cos^{2}B} = \frac{\sin B}{\cos B}$，即$\sin B = \cos A\cos B - \sin A\sin B = \cos(A + B) = -\cos C = \frac{1}{2}$，而$0 ＜ B ＜ \frac{\pi}{3}$，所以$B = \frac{\pi}{6}$。

(2)求$\frac{a^2 + b^2}{c^2}$的最小值.

答案：
(2)由
(1)知，$\sin B = -\cos C ＞ 0$，所以$\frac{\pi}{2} ＜ C ＜ \pi$，$0 ＜ B ＜ \frac{\pi}{2}$，而$\sin B = -\cos C = \sin(C - \frac{\pi}{2})$，所以$C = \frac{\pi}{2} + B$，即有$A = \frac{\pi}{2} - 2B$，所以$B \in (0,\frac{\pi}{4})$，$C \in (\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4})$。所以$\frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}} = \frac{\sin^{2}A + \sin^{2}B}{\sin^{2}C} = \frac{\cos^{2}2B + \sin^{2}B}{\cos^{2}B} = \frac{(2\cos^{2}B - 1)^{2} + 1 - \cos^{2}B}{\cos^{2}B} = 4\cos^{2}B + \frac{2}{\cos^{2}B} - 5 \geq 2\sqrt{8} - 5 = 4\sqrt{2} - 5$。当且仅当$\cos^{2}B = \frac{\sqrt{2}}{2}$时取等号，所以$\frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}}$的最小值为$4\sqrt{2} - 5$。

(2025·江苏南京模拟)在凸四边形 ABCD 中，已知 AB = AD，AB⊥AD，BC = 4，CD = 2.

答案： 答案略

(1)若 cos∠BCD = $\frac{1}{4}$，求 sin∠ABC 的值；

答案：
(1)由余弦定理可得$BD^{2} = 16 + 4 - 2 × 4 × 2 × \frac{1}{4} = 16$，$BD = 4$，$\cos\angle CBD = \frac{16 + 16 - 4}{2 × 4 × 4} = \frac{7}{8}$，$\sin\angle CBD = \sqrt{1 - \frac{49}{64}} = \frac{\sqrt{15}}{8}$，则$\sin\angle ABC = \sin(45^{\circ} + \angle CBD) = \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin\angle CBD + \cos\angle CBD) = \frac{7\sqrt{2} + \sqrt{30}}{16}$。

(2)求四边形 ABCD 面积 S 的最大值.

答案：
(2)由余弦定理可得$BD = \sqrt{20 - 16\cos\angle BCD}$，且$AB = \frac{\sqrt{2}}{2}BD$，$S = \frac{1}{2}AB^{2} + \frac{1}{2} × 2 × 4\sin\angle BCD = \frac{1}{4}(20 - 16\cos\angle BCD) + 4\sin\angle BCD = 4\sin\angle BCD - 4\cos\angle BCD + 5 = 4\sqrt{2}\sin(\angle BCD - \frac{\pi}{4}) + 5$。当$\angle BCD - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$，即$\angle BCD = \frac{3\pi}{4}$时，四边形$ABCD$的面积$S$取最大值为$S = 4\sqrt{2} + 5$。

已知锐角△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且$\frac{\sin(A - B)}{\cos B} = \frac{\sin(A - C)}{\cos C}$.

答案： 由已知条件 $\frac{\sin(A - B)}{\cos B} = \frac{\sin(A - C)}{\cos C}$，
根据两角差的正弦公式，将等式展开，得到：
$\frac{\sin A \cos B - \cos A \sin B}{\cos B} = \frac{\sin A \cos C - \cos A \sin C}{\cos C}$，
上述等式可简化为：
$\sin A - \cos A \tan B = \sin A - \cos A \tan C$，
进一步化简，得到：
$\cos A(\tan B - \tan C) = 0$，
由于 $\bigtriangleup ABC$ 是锐角三角形，
所以$\cos A \neq 0$，
从而得出：
$\tan B = \tan C$，
由于 $B,C$ 是锐角，
所以$B = C$，
因此，$\bigtriangleup ABC$ 是等腰三角形，
设 $B = C = \alpha$，
由三角形内角和为 $\pi$，
有$A = \pi - 2\alpha$，
由于 $\bigtriangleup ABC$ 是锐角三角形，
所以$0 ＜ \alpha ＜ \frac{\pi}{2},0 ＜ \pi - 2\alpha ＜ \frac{\pi}{2}$，
解得$\frac{\pi}{4} ＜ \alpha ＜ \frac{\pi}{2}$，
由正弦定理，有$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$，
由于 $B = C$，
所以$b = c$，
设 $b = c = x$，
由余弦定理，有$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\cos A$，
代入 $b = c = x$ 和 $A = \pi - 2\alpha$，
得到$a^{2} = 2x^{2} - 2x^{2}\cos(\pi - 2\alpha) = 2x^{2}(1 + \cos 2\alpha)$，
由于 $\frac{\pi}{4} ＜ \alpha ＜ \frac{\pi}{2}$，
所以$0 ＜ \cos 2\alpha ＜ 1$，
因此$a^{2} \in (2x^{2},4x^{2})$，
即$a \in (\sqrt{2}x,2x)$，
所以三角形的周长为$a + 2x \in (2 + \sqrt{2})x,4x)$。

(1)若 A = $\frac{\pi}{3}$，求 B；

答案：
(1)由题意知$\frac{\sin(A - B)}{\cos B} = \frac{\sin(A - C)}{\cos C}$，所以$\sin(A - B)\cos C = \sin(A - C)\cos B$，所以$\sin A\cos B\cos C - \cos A\sin B\cos C = \sin A\cos C\cos B - \cos A\sin C\cos B$，所以$\cos A\sin B\cos C = \cos A\sin C\cos B$，因为$A \in (0,\frac{\pi}{2})$，所以$\cos A \neq 0$，所以$\sin B\cos C = \sin C\cos B$，所以$\tan B = \tan C$，因为$B,C \in (0,\frac{\pi}{2})$，所以$B = C$，由$A = \frac{\pi}{3}$，所以$B = \frac{\pi}{3}$。

(2)若 a sin C = 1，求$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}$的最大值.

答案：
(2)由
(1)知$B = C$，所以$\sin B = \sin C$，$b = c$，因为$a\sin C = 1$，所以$\frac{1}{a} = \sin C$。由正弦定理得$a\sin C = c\sin A = b\sin A = 1$，所以$\frac{1}{b} = \sin A$，因为$A = \pi - B - C = \pi - 2C$，所以$\frac{1}{b} = \sin A = \sin 2C$，所以$\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} = \sin^{2}C + \sin^{2}2C = \frac{1 - \cos 2C}{2} + (1 - \cos^{2}2C) = -\cos^{2}2C - \frac{1}{2}\cos 2C + \frac{3}{2}$，因为$\triangle ABC$为锐角三角形，且$B = C$，则有$\frac{\pi}{4} ＜ C ＜ \frac{\pi}{2}$，得$\frac{\pi}{2} ＜ 2C ＜ \pi$，所以$-1 ＜ \cos 2C ＜ 0$。由二次函数的性质可得，当$\cos 2C = -\frac{1}{4}$时，$\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}}$取得最大值$\frac{25}{16}$。

已知△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足$\frac{\sin A}{\sin B + \sin C} = \frac{c - b}{b}$.
（1）若 C = $\frac{\pi}{2}$，求 B；
（2）求$\frac{a + c}{b}$的取值范围.

答案： （1）由$\frac{\sin A}{\sin B + \sin C} = \frac{c - b}{b}$，及正弦定理可得，$\frac{a}{b + c} = \frac{c - b}{b}$，即$c^{2} = b^{2} + ab$，因为$C = \frac{\pi}{2}$，所以$c^{2} = a^{2} + b^{2}$，所以$b^{2} + ab = a^{2} + b^{2}$，解得$a = b$，即$A = B$，又$C = \frac{\pi}{2}$，所以$B = \frac{\pi}{4}$。
(2)由
(1)知，$c^{2} = b^{2} + ab$，所以$a = \frac{c^{2} - b^{2}}{b}$，$c ＞ b$，由三角形三边关系可得$\begin{cases}a + b ＞ c\\b + c ＞ a\end{cases}$，代入化简可得$b ＜ c ＜ 2b$，所以$\frac{a + c}{b} = \frac{c^{2} - b^{2}}{b^{2}} + \frac{c}{b} - 1$，令$x = \frac{c}{b}$，则$x \in (1,2)$，$f(x) = x^{2} + x - 1$，$1 ＜ x ＜ 2$，所以$f(x) = (x + \frac{1}{2})^{2} - \frac{5}{4} \in (1,5)$，所以$\frac{c^{2}}{b^{2}} + \frac{c}{b} - 1 \in (1,5)$，所以$\frac{a + c}{b}$的取值范围是$(1,5)$。