《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

若$O$在$\triangle ABC$所在的平面内，且满足$\overrightarrow{OA}·\left(\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}-\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}\right)=\overrightarrow{OB}·\left(\frac{\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|}-\frac{\overrightarrow{BA}}{|\overrightarrow{BA}|}\right)=\overrightarrow{OC}·\left(\frac{\overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{CA}|}-\frac{\overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CB}|}\right)=0$，则$O$是$\triangle ABC$的(C)

A.垂心
B.重心
C.内心
D.外心

答案： 典例4 C $\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$，$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$分别表示在边AC和AB上的单位向量，可设为$\overrightarrow{AC}$和$\overrightarrow{AB}$，则$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$，则当$\overrightarrow{OA}·(\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}-\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|})=0$时，即$\overrightarrow{OA}\perp\overrightarrow{BC}$，点O在$\angle BAC$的平分线上，$\frac{\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|}$，$\frac{\overrightarrow{BA}}{|\overrightarrow{BA}|}$分别表示在边BC和BA上的单位向量，可设为$\overrightarrow{BC}$和$\overrightarrow{BA}$，则$\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AC}$，则当$\overrightarrow{OB}·(\frac{\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|}-\frac{\overrightarrow{BA}}{|\overrightarrow{BA}|})=0$时，即$\overrightarrow{OB}\perp\overrightarrow{AC}$，点O在$\angle ABC$的平分线上；同理可知，点O在$\angle ACB$的平分线上，故O是$\triangle ABC$的内心，故选C.

(1)在平面上有$\triangle ABC$及其内一点$O$满足关系式：$S_{\triangle OBC}·\overrightarrow{OA}+S_{\triangle OAC}·\overrightarrow{OB}+S_{\triangle OAB}·\overrightarrow{OC}=\boldsymbol{0}$(奔驰定理)，若$\triangle ABC$的内角$A$，$B$，$C$所对边分别为$a$，$b$，$c$，现有$a·\overrightarrow{OA}+b·\overrightarrow{OB}+c·\overrightarrow{OC}=\boldsymbol{0}$，则$O$为$\triangle ABC$的(B)
A. 外心
B. 内心
C. 重心
D. 垂心
(2)(多选题)(2024·广东汕头二模)瑞士数学家欧拉在 1765 年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心间的距离是垂心和重心间的距离的一半。这个定理就是著名的欧拉线定理，设$\triangle ABC$中，点$O$，$H$，$G$分别是外心、垂心、重心。下列四个选项中结论正确的是(AB)
A. $\overrightarrow{GH}=2\overrightarrow{OG}$
B. $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\boldsymbol{0}$
C. 设$BC$边的中点为$D$，则有$\overrightarrow{AH}=3\overrightarrow{OD}$
D. $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}$

答案：
对点练4.
(1)B
(2)AB
(1)因为$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}$，所以$a·\overrightarrow{OA}+b·\overrightarrow{OB}+c·\overrightarrow{OC}=a·\overrightarrow{OA}+b(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB})+c(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC})=(a + b + c)·\overrightarrow{OA}+b·\overrightarrow{AB}+c·\overrightarrow{AC}=0$，所以$\overrightarrow{AO}=\frac{bc}{a + b + c}(\frac{\overrightarrow{AB}}{c}+\frac{\overrightarrow{AC}}{b})$，因为$\frac{\overrightarrow{AB}}{c}$，$\frac{\overrightarrow{AC}}{b}$分别是AB，AC方向上的单位向量，所以向量$\frac{\overrightarrow{AB}}{c}+\frac{\overrightarrow{AC}}{b}$平分$\angle BAC$，即AO平分$\angle BAC$，同理BO平分$\angle ABC$，所以O为$\triangle ABC$的内心，故选B.
(2)由题意作图，如图所示，易知BC的中点D与A，G共线，对于A，由题意得，$\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{GD}$，$\overrightarrow{OD}\perp\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{AH}\perp\overrightarrow{BC}$，所以$\overrightarrow{OD}//\overrightarrow{AH}$，所以$\overrightarrow{GH}=2\overrightarrow{OG}$，故A正确；对于B，由题意得，$\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GD}=-\overrightarrow{GA}$，所以$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=0$，故B正确；对于C，由题意知$\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{DG}$，又$\overrightarrow{GH}=2\overrightarrow{GO}$，$\angle AGH=\angle DGO$，所以$\triangle AGH\sim\triangle DGO$，所以$\overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{OD}$，故C错误；对于D，向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$的模相等，方向不同，故D错误，故选AB.