《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

3. (2025·陕西宝鸡期末)函数 $ f(x) = -3\tan\left(\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi}{4}\right) $的定义域是(D)

A.$\left\{x\left|x \neq \dfrac{\pi}{4}\right.\right\}$
B.$\left\{x\left|x \neq \dfrac{\pi}{2}\right.\right\}$
C.$\left\{x\left|x \neq k\pi + \dfrac{\pi}{4},k \in \mathbf{Z}\right.\right\}$
D.$\left\{x\left|x \neq 2k\pi + \dfrac{\pi}{2},k \in \mathbf{Z}\right.\right\}$

答案： 3.D 由正切函数的定义域，令$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \neq k\pi + \frac{\pi}{2}$，$k \in \mathbb{Z}$，即$x \neq 2k\pi + \frac{\pi}{2}$，$(k \in \mathbb{Z})$，所以函数$f(x) = -3\tan\left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)$的定义域为$\{ x \mid x \neq 2k\pi + \frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} \}$。故选D。

4. 函数 $ y = \sqrt{\sin x - \cos x} $的定义域为$\left\{ x \mid 2k\pi + \frac{\pi}{4} \leq x \leq 2k\pi + \frac{5\pi}{4}, k \in \mathbb{Z} \right\}$.

答案：
4.$\left\{ x \mid 2k\pi + \frac{\pi}{4} \leq x \leq 2k\pi + \frac{5\pi}{4}, k \in \mathbb{Z} \right\}$
要使函数有意义，必须使$\sin x - \cos x \geq 0$。在同一平面直角坐标系中画出$y = \sin x$和$y = \cos x$在$[0, 2\pi]$上的图象，如图所示。 在$[0, 2\pi]$内，满足$\sin x = \cos x$的$x$的值为$\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$，再结合正弦、余弦函数的周期是$2\pi$，所以原函数的定义域为$\left\{ x \mid 2k\pi + \frac{\pi}{4} \leq x \leq 2k\pi + \frac{5\pi}{4}, k \in \mathbb{Z} \right\}$。

(2)(2025·陕西渭南模拟)函数 $ f(x) = \sin^2 x + \cos x $的最大值为(B)

A.$1$
B.$\dfrac{5}{4}$
C.$\dfrac{3}{2}$
D.$2$

答案：
(2)B 由$f(x) = \sin^2 x + \cos x = 1 - \cos^2 x + \cos x = -\left( \cos x - \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{5}{4}$，因为$\cos x \in [-1, 1]$，所以当$\cos x = \frac{1}{2}$时，$f(x)$取得最大值$\frac{5}{4}$。故选B。

变式探究

答案： 答题卡填写：
求函数$y = \log_{\frac{1}{2}}(\sin x)$的单调递减区间：
首先知道，对于对数函数$y = \log_{a}x$，当$0 \lt a \lt 1$时，在定义域内是单调递减的。
根据题意有$ \sin x ＞ 0 $。
且由于底数为$\frac{1}{2}$（小于1），因此要求$\sin x$单调递增（因为对数的单调递减特性）。
$\sin x$在$2k\pi \lt x \lt 2k\pi + \pi$（$k \in \mathbf{Z}$）时大于零。
$\sin x$的单调递增区间为$2k\pi - \frac{\pi}{2} \leqslant x \leqslant 2k\pi + \frac{\pi}{2}$，但由于$\sin x ＞ 0$，所以单调递增且大于零的区间为$2k\pi \lt x \leqslant 2k\pi + \frac{\pi}{2}$，其中$k \in \mathbf{Z}$。
所以函数$y = \log_{\frac{1}{2}}(\sin x)$的单调递减区间为：
$(2k\pi, 2k\pi + \frac{\pi}{2}] \quad (k \in \mathbf{Z})$。

1. (变条件)函数 $ f(x) = \sin x - \cos x + \sin x\cos x $的值域为$\left[ -\frac{1}{2} - \sqrt{2}, 1 \right]$.

答案： 1.$\left[ -\frac{1}{2} - \sqrt{2}, 1 \right]$ 设$t = \sin x - \cos x$，则$-\sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}$，$t^2 = \sin^2 x + \cos^2 x - 2\sin x\cos x$，则$\sin x\cos x = \frac{1 - t^2}{2}$，所以$y = -\frac{t^2}{2} + t + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}(t - 1)^2 + 1$。当$t = 1$时，$y_{\max} = 1$；当$t = -\sqrt{2}$时，$y_{\min} = -\frac{1}{2} - \sqrt{2}$。所以函数的值域为$\left[ -\frac{1}{2} - \sqrt{2}, 1 \right]$。

2. (变条件)函数 $ f(x) = \sin x - \cos x + \sin x\cos x,x \in [0,\pi] $，则函数 $ f(x) $的值域为$[-1, 1]$.

答案： 2.$[-1, 1]$ 设$t = \sin x - \cos x$，则$t^2 = \sin^2 x + \cos^2 x - 2\sin x\cos x$，即$\sin x\cos x = \frac{1 - t^2}{2}$，且$-1 \leq t \leq \sqrt{2}$。所以$y = -\frac{t^2}{2} + t + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}(t - 1)^2 + 1$。当$t = 1$时，$y_{\max} = 1$；当$t = -1$时，$y_{\min} = -1$。所以函数的值域为$[-1, 1]$。

(1)若函数 $ f(x) = \dfrac{1 - \cos x}{\sin x}\left(x \in \left[\dfrac{\pi}{3},\dfrac{\pi}{2}\right]\right) $，则 $ f(x) $的最大值为(A)
A. $1$
B. $2$
C. $3$
D. $4$
(2)已知函数 $ f(x) = 4\sin\left(2x - \dfrac{\pi}{6}\right) + 1 $的定义域是$[0,m]$，值域为$[-1,5]$，则 $ m $的最大值是(A)
A. $\dfrac{2\pi}{3}$
B. $\dfrac{\pi}{3}$
C. $\dfrac{\pi}{6}$
D. $\dfrac{5\pi}{6}$

答案：
(1)A
(2)A
(1)由已知$f(x) = \frac{1 - \cos x}{\sin x} = \frac{2\sin^2 \frac{x}{2}}{2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}} = \tan \frac{x}{2}$，$\frac{x}{2} \in \left[ \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4} \right]$，由函数$y = \tan x$在区间$\left[ \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4} \right]$上单调递增，知$f(x) \in \left[ \frac{\sqrt{3}}{3}, 1 \right]$，所以$f(x)$的最大值为1。故选A。
(2)因为$x \in [0, m]$，所以$2x - \frac{\pi}{6} \in \left[ -\frac{\pi}{6}, 2m - \frac{\pi}{6} \right]$。因为$f(x)$的值域为$[-1, 5]$，所以$-\frac{\pi}{2} \leq 2m - \frac{\pi}{6} \leq \frac{7\pi}{6}$，解得$\frac{\pi}{3} \leq m \leq \frac{2\pi}{3}$，所以$m$的最大值为$\frac{2\pi}{3}$。故选A。

(1)(2021·新高考Ⅰ卷)下列区间中，函数 $ f(x) = 7\sin\left(x - \dfrac{\pi}{6}\right) $单调递增的区间是(A)

A.$\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$
B.$\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)$
C.$\left(\pi,\dfrac{3\pi}{2}\right)$
D.$\left(\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right)$

答案：
(1)A 令$-\frac{\pi}{2} + 2k\pi \leq x - \frac{\pi}{6} \leq \frac{\pi}{2} + 2k\pi$，$k \in \mathbb{Z}$，得$-\frac{\pi}{3} + 2k\pi \leq x \leq \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$，$k \in \mathbb{Z}$。取$k = 0$，则$-\frac{\pi}{3} \leq x \leq \frac{2\pi}{3}$。因为$\left( 0, \frac{\pi}{2} \right) \subseteq \left[ -\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3} \right]$，所以函数$f(x)$在区间$\left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$单调递增。故选A。

(2)设函数 $ f(x) = \cos\left(\dfrac{\pi}{3} - 2x\right) $，则 $ f(x) $在$\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$上单调递减的区间是(D)

A.$\left[0,\dfrac{\pi}{6}\right]$
B.$\left[0,\dfrac{\pi}{3}\right]$
C.$\left[\dfrac{\pi}{3},\dfrac{\pi}{2}\right]$
D.$\left[\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{2}\right]$

答案：
(2)D 由题意得$f(x) = \cos\left( 2x - \frac{\pi}{3} \right)$，由$2k\pi \leq 2x - \frac{\pi}{3} \leq 2k\pi + \pi$，$k \in \mathbb{Z}$，得$k\pi + \frac{\pi}{6} \leq x \leq k\pi + \frac{2\pi}{3}$，$k \in \mathbb{Z}$。又$x \in \left[ 0, \frac{\pi}{2} \right]$，所以单调递减的区间为$\left[ \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2} \right]$。故选D。

已知函数 $ f(x) = 2\cos\left(x + \dfrac{\pi}{6}\right) $，设 $ a = f\left(\dfrac{\pi}{7}\right) $，$ b = f\left(\dfrac{\pi}{6}\right) $，$ c = f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) $，则 $ a,b,c $的大小关系是(A)

A.$ a ＞ b ＞ c $
B.$ a ＞ c ＞ b $
C.$ c ＞ a ＞ b $
D.$ b ＞ a ＞ c $

答案： A 由$2k\pi \leq x + \frac{\pi}{6} \leq 2k\pi + \pi$，$k \in \mathbb{Z}$得$2k\pi - \frac{\pi}{6} \leq x \leq 2k\pi + \frac{5\pi}{6}$，$k \in \mathbb{Z}$，所以$f(x)$的单调递减区间为$\left[ 2k\pi - \frac{\pi}{6}, 2k\pi + \frac{5\pi}{6} \right] (k \in \mathbb{Z})$，所以$f(x)$在$\left[ 0, \frac{\pi}{2} \right]$上单调递减，所以$f\left( \frac{\pi}{7} \right) ＞ f\left( \frac{\pi}{6} \right) ＞ f\left( \frac{\pi}{4} \right)$，即$a ＞ b ＞ c$。故选A。