《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

2. 已知函数$y = a · 2^x$和$y = 2^{x + b}$都是指数函数，则$a + b$等于(C)

A.不确定
B.$0$
C.$1$
D.$2$

答案： 2.C 由函数$y=a·2^{x}$是指数函数，得$a=1$，由$y=2^{x+b}$是指数函数，得$b=0$，所以$a+b=1$.故选C.

3. (链接北师必修一$P89$练习$T2$，改编)已知关于$x$的不等式$\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x - 4} \geq 3^{-2x}$，则该不等式的解集为(A)

A.$[-4, +\infty)$
B.$(-4, +\infty)$
C.$(-\infty, -4)$
D.$(-4, 1]$

答案： 3.A 不等式$(\frac{1}{3})^{x - 4}\geq3^{-2x}$，即$3^{4 - x}\geq3^{-2x}$，由于$y=3^{x}$是增函数，所以$4 - x\geq - 2x$，解得$x\geq - 4$，所以原不等式的解集为$[-4,+\infty)$.故选A.

4. (链接北师必修一$P90$例$5$，改编)已知$a = 0.75^{0.1}$，$b = 1.01^{2.7}$，$c = 1.01^{3.5}$，则(C)

A.$a ＞ b ＞ c$
B.$a ＞ c ＞ b$
C.$c ＞ b ＞ a$
D.$c ＞ a ＞ b$

答案： 4.C 因为函数$y=1.01^{x}$在$(-\infty,+\infty)$上是增函数，且$3.5＞2.7$，故$1.01^{3.5}＞1.01^{2.7}＞1＞0.75^{0.1}$，即$c＞b＞a$.故选C.

1. (多选题)函数$f(x) = a^{x - b}$的图象如图所示，其中$a$，$b$为常数，则下列结论正确的是(AC)

$\begin{tikzpicture}[scale=0.8]\draw[-＞] (-1.5,0) -- (1.5,0) node[right] {$x$};\draw[-＞] (0,-0.5) -- (0,1.5) node[above] {$y$};\draw[domain=-1.5:1.5,samples=100,smooth,variable=\x,blue] plot ({\x},{exp(-\x r)});\filldraw (0,1) circle (2pt) node[below right] {$(0,1)$};\end{tikzpicture}$

A.$0 ＜ a ＜ 1$
B.$a ＞ 1$
C.$b ＜ 0$
D.$b ＞ 0$

答案： 1.AC 由$f(x)=a^{x - b}$的图象可以观察出函数$f(x)=a^{x - b}$在定义域上单调递减，所以$0 ＜ a ＜ 1$，函数$f(x)=a^{x - b}$的图象是在$y=a^{x}$的图象的基础上向左平移得到的，所以$-b＞0$，即$b ＜ 0$.故选AC.

2. (2025·四川成都模拟)函数$y = 3^x$与$y = -\dfrac{1}{3^x}$的图象(C)

A.关于$x$轴对称
B.关于$y$轴对称
C.关于原点对称
D.关于$y = x$对称

答案：
2.C 令函数$y=f(x)=3^{x},y=g(x)=-\frac{1}{3^{x}}$，所以$g(-x)=-\frac{1}{3^{-x}}=-3^{x}=-f(x)$，即$g(-x)=-f(x)$，所以函数$f(x)$与$g(x)$的图象关于原点对称，即函数$y=3^{x}$与$y=-\frac{1}{3^{x}}$的图象关于原点对称.故选C;

3. (多选题)已知实数$a$，$b$满足等式$2024^a = 2025^b$，下列各式可以成立的是(ABD)

A.$a = b = 0$
B.$a ＜ b ＜ 0$
C.$0 ＜ a ＜ b$
D.$0 ＜ b ＜ a$

答案：
3.ABD 如图，观察易知，$a ＜ b ＜ 0$或$0 ＜ b ＜ a$或$a = b = 0$.故选ABD.

4. 若方程$\vert 3^x - 1\vert = k$有一解，则实数$k$的取值范围为{0}∪[1,+∞)。

答案：
4.$\{0\}\cup[1,+\infty)$ 函数$y=|3^{x}-1|$的图象是由函数$y=3^{x}$的图象向下平移一个单位后，再把位于$x$轴下方的图象沿$x$轴翻折到$x$轴上方得到的，函数图象如图所示，当$k = 0$或$k\geq1$时，直线$y = k$与函数$y=|3^{x}-1|$的图象有唯一的交点，即方程有一解.故实数$k$的取值范围为$\{0\}\cup[1,+\infty)$.

(1)(多选题)下列各式正确的是(BCD)

A.$1.7^{2.5} ＞ 1.7^3$
B.$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{2}{3}} ＞ 2^{-\frac{4}{3}}$
C.$1.7^{0.3} ＞ 0.9^{3.1}$
D.$\left(\dfrac{2}{3}\right)^{\frac{3}{4}} ＜ \left(\dfrac{3}{4}\right)^{\frac{2}{3}}$

答案：
(1)BCD
(1)因为$y=1.7^{x}$为增函数，所以$1.7^{2.5}＜1.7^{3}$，故A不正确；$(\frac{1}{2})^{-\frac{1}{5}}=2^{\frac{1}{5}}$，$y=2^{x}$为增函数，所以$2^{\frac{1}{5}}＞2^{-\frac{1}{3}}$，故B正确；因为$1.7^{0.3}＞1$，$0.9^{3.1}\in(0,1)$，所以$1.7^{0.3}＞0.9^{3.1}$，故C正确；因为$y=(\frac{2}{3})^{x}$为减函数，所以$(\frac{2}{3})^{\pi}＜(\frac{2}{3})^{\frac{1}{3}}$。又$y=x^{\frac{1}{3}}$在$(0,+\infty)$上单调递增，所以$(\frac{2}{3})^{\frac{1}{3}}＜(\frac{3}{4})^{\frac{1}{3}}$，所以$(\frac{2}{3})^{\pi}＜(\frac{2}{3})^{\frac{1}{3}}＜(\frac{3}{4})^{\frac{1}{3}}$，故D正确.故选BCD.

(2)(多选题)(2025·湖南长沙期末)若$3^x - 3^y ＜ 4^{-x} - 4^{-y}$，则下列结论正确的是(BC)

A.$\sqrt{x} ＜ \sqrt{y}$
B.$x ＜ y$
C.$2^{-y} ＜ 2^{-x}$
D.$y^{-3} ＞ x^{-3}$

答案：
(2)BC
(2)由$3^{x}-3^{-x}＜4^{-x}-4^{x}$变形得到$3^{x}-4^{-x}＜3^{-x}-4^{x}$，令$f(x)=3^{x}-4^{-x}$，显然$f(x)$在R上为增函数，所以$x＜y$，显然B正确；对于A，若$x ＜ 0$或$y ＜ 0$，A不满足要求；对于C，$-x＞-y$，故$2^{-y}＜2^{-x}$，故C正确；对于D，不妨设$x = 2$，$y = 3$，则$3^{-3}＜2^{-3}$，即$y^{-3}＜x^{-3}$，故D错误.故选BC.

(1)若$2^{x^2 + 1} \leq \left(\dfrac{1}{4}\right)^{x - 2}$，则函数$y = 2^x$的值域是(B)

A.$\left[\dfrac{1}{8}, 2\right)$
B.$\left[\dfrac{1}{8}, 2\right]$
C.$\left(-\infty, \dfrac{1}{8}\right)$
D.$[2, +\infty)$

答案：
(1)B
(1)$(\frac{1}{4})^{x^{2}}=(2^{-2})^{x^{2}}=2^{-2x^{2}}$，所以$2^{2x + 1}\leq2^{-2x^{2}+4}$，即$x^{2}+1\leq - 2x + 4$，即$x^{2}+2x - 3\leq0$，所以$-3\leq x\leq1$，此时$y=2^{x}$的值域为$[2^{-3},2^{1}]$，即为$[\frac{1}{8},2]$.故选B.

(2)已知实数$a \neq 1$，函数$f(x) = \begin{cases}4^x, & x \geq 0, \\ 2^{a - x}, & x ＜ 0,\end{cases}$若$f(1 - a) = f(a - 1)$，则$a$的值为 ______ 。

答案：
(2)$\frac{1}{2}$
(2)当$a ＜ 1$时，$4^{1 - a}=2$，解得$a=\frac{1}{2}$；当$a ＞ 1$时，代入不成立.故$a$的值为$\frac{1}{2}$.

(1)(多选题)设函数$f(x) = a^{-\vert x\vert}(a ＞ 0$，且$a \neq 1)$，若$f(2) = 4$，则()
A. $f(-2) ＞ f(-1)$
B. $f(-1) ＞ f(-2)$
C. $f(-2) ＞ f(2)$
D. $f(-4) ＞ f(3)$
(2)(2025·北京大兴模拟)已知$f(x) = \begin{cases}x^2 - 1, & x ＜ 0, \\ 4^x, & x \geq 0,\end{cases}$若$f(m) = 8$，则$m =$ ______ 。

答案：
(1)AD
(2)$-3$或$\frac{3}{2}$
(1)因为$f(x)=a^{-|x|}$，$f(2)=4$，所以$a^{-2}=4$，解得$a=\frac{1}{2}$(负值舍去)，则$f(x)=(\frac{1}{2})^{-|x|}=2^{|x|}$，易得$f(x)$是偶函数，且在$(-\infty,0)$上单调递减，在$(0,+\infty)$上单调递增，故$f(-2)＞f(-1)$，$f(-2)=f(2)$，$f(-4)=f(4)＞f(3)$，故A，D正确，B，C错误.故选AD.
(2)因为$f(x)=\begin{cases}x^{2}-1,x ＜ 0\\4^{x},x\geq0\end{cases}$，且$f(m)=8$，所以$\begin{cases}m^{2}-1 = 8\\m ＜ 0\end{cases}$或$\begin{cases}4^{m}=8\\m\geq0\end{cases}$，解得$m=-3$或$m=\frac{3}{2}$.

(1)求$a$的值，使得$y = f(x)$为奇函数；

答案： 解：
(1)要使函数$f(x)$有意义，则需$2^{x}-1\neq0$，$x\neq0$.由$f(x)$为奇函数，可知$f(-1)=-f(1)$，即$-(1 + 2a)=-(2 + a)$，解得$a = 1$，当$a = 1$时，$f(x)=\frac{2^{x}+1}{2^{x}-1}$，$f(-x)=\frac{2^{-x}+1}{2^{-x}-1}=\frac{1 + 2^{x}}{1 - 2^{x}}=-f(x)$对一切非零实数$x$恒成立，故$a = 1$时，$y = f(x)$为奇函数.