《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

(1)$ y = 2x + 4\sqrt{1 - x} $;(2)$ y = x - \sqrt{1 - x^{2}} $.

答案： 典例 2 解：
(1)(代数换元法)令$t=\sqrt{1 - x}\geqslant0$，$x = 1 - t^{2}$，
所以$y=-2t^{2}+4t+2=-2(t - 1)^{2}+4\leqslant4$。
所以函数$y=2x + 4\sqrt{1 - x}$值域为$(-\infty,4]$。
(2)(三角换元)设$x=\cos\theta$，$\theta\in[0,\pi]$。
则$y=\cos\theta-|\sin\theta|=\sqrt{2}\cos\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)$。
因为$\theta\in[0,\pi]$，$\frac{\pi}{4}\leqslant\theta+\frac{\pi}{4}\leqslant\frac{5\pi}{4}$，所以$-1\leqslant\cos\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)\leqslant\frac{\sqrt{2}}{2}$；
所以函数$y=x-\sqrt{1 - x^{2}}$值域为$[-\sqrt{2},1]$。

(1)$ y = 2x - 1 - \sqrt{13 - 4x} $;(2)$ y = x^{2} + 4\sqrt{1 - 2x^{2}} $.

答案： 对点练 2 解：
(1)设$\sqrt{13 - 4x}=t(t\geqslant0)$，则$x=\frac{13 - t^{2}}{4}$。
函数可化为$y=2×\frac{13 - t^{2}}{4}-1 - t=-\frac{1}{2}t^{2}-t+\frac{11}{2}(t\geqslant0)$，对称轴为$t = - 1$。
所以函数在$[0,+\infty)$上单调递减，所以当$t = 0$时，$y_{max}=\frac{11}{2}$。
所以原函数的值域为$\left(-\infty,\frac{11}{2}\right]$。
(2)令$t=\sqrt{1 - 2x^{2}}$，则$x^{2}=\frac{1 - t^{2}}{2}$，由$x^{2}\geqslant0$及$1 - 2x^{2}\geqslant0$，得$0\leqslant x^{2}\leqslant\frac{1}{2}$，所以$0\leqslant t\leqslant1$，则$y=\frac{1 - t^{2}}{2}+4t=-\frac{1}{2}t^{2}+4t+\frac{1}{2}(0\leqslant t\leqslant1)$，函数在$[0,1]$上单调递增。
因此当$t = 0$时，$y_{min}=\frac{1}{2}$；当$t = 1$时，$y_{max}=4$。
所以原函数的值域为$\left[\frac{1}{2},4\right]$。

1. 函数的奇偶性
偶函数
定义：一般地，设函数$f(x)$的定义域为$A$，如果对$\forall x\in A$，都有$-x\in A$，且$$$f(-x)=f(x)$$$，那么函数$f(x)$就叫做偶函数.

图象特点：关于$$y轴$$对称.
奇函数
定义：一般地，设函数$f(x)$的定义域为$A$，如果对$\forall x\in A$，都有$-x\in A$，且$$$f(-x)=-f(x)$$$，那么函数$f(x)$就叫做奇函数.
图象特点：关于$$原点$$对称.
[微提醒] 函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件.

答案： 1.$f(-x)=f(x)$ y轴 $f(-x)=-f(x)$ 原点

2. 函数的周期性

周期函数：一般地，对于函数$y = f(x)$，$x\in D$，如果存在一个非零常数$T$，使得对任意的$x\in D$，都有$x + T\in D$且满足$$$f(x+T)=f(x)$$$，那么函数$y = f(x)$称作周期函数，非零常数$T$称作这个函数的周期.
最小正周期：如果在周期函数$y = f(x)$的所有周期中存在一个$$最小$$的正数，那么这个$$最小正数$$就称作函数$y = f(x)$的最小正周期.

答案： 2.$f(x+T)=f(x)$ 最小 最小正数

1. (多选题)下列命题是真命题的是(BD)

A.若函数$f(x)$为奇函数，则一定有$f(0)=0$
B.存在既是奇函数，又是偶函数的函数
C.对于函数$y = f(x)$，若存在$x$，使$f(-x)= - f(x)$，则函数$y = f(x)$一定是奇函数
D.若$T$是函数$f(x)$的一个周期，则$nT(n\in\mathbf{N}_{+})$也是函数$f(x)$的周期

答案： 1.BD