《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

2. (链接北师选择性必修一 P53T4)若椭圆$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{25}=1$上一点$P$与焦点$F_1$的距离为$4$，则点$P$与另一个焦点$F_2$的距离为(A)

A.$6$
B.$4$
C.$3$
D.$2$

答案： 2.A 由椭圆方程$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{25}=1$，得$a^2 = 25$，即$a = 5$，则$|PF_1|+|PF_2|=2a = 10$，因为$|PF_1| = 4$，所以$|PF_2| = 6$，即点$P$与另一个焦点$F_2$的距离为$6$。故选A。

3. (链接北师选择性必修一 P58T7)在平面直角坐标系$xOy$中，椭圆$C$的中心为原点，焦点$F_1,F_2$在$x$轴上，离心率为$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.过$F_1$的直线$l$交$C$于$A,B$两点，且$\triangle ABF_2$的周长为$16$，那么椭圆$C$的方程为$$$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{8}=1$$$.

答案：
3.$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{8}=1$ 如图，设椭圆方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ $(a＞b＞0)$，由椭圆的定义可知，$|AF_1|+|AF_2| = 2a$，$|BF_1|+|BF_2| = 2a$，又$\triangle ABF_2$的周长为$16$，所以$|AF_1|+|AF_2|+|BF_1|+|BF_2| = 16$，即$4a = 16$，$a = 4$，又$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，则$c = 2\sqrt{2}$，$b=\sqrt{a^2 - c^2}=2\sqrt{2}$，故椭圆C的方程为$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{8}=1$。

4. (易错题)(链接北师选择性必修一 P58T1)已知椭圆$\dfrac{x^2}{5}+\dfrac{y^2}{m}=1(m＞0)$的离心率$e=\dfrac{\sqrt{10}}{5}$，则$m$的值为$$3或$\frac{25}{3}$$$.

答案： 4.3或$\frac{25}{3}$ 若$0＜m＜5$，则$a^2 = 5$，$b^2 = m$，则$c=\sqrt{5 - m}$。由$e=\frac{\sqrt{10}}{5}$，得$\frac{\sqrt{5 - m}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$，解得$m = 3$。若$m＞5$，则$a^2 = m$，$b^2 = 5$，则$c=\sqrt{m - 5}$。由$e=\frac{\sqrt{10}}{5}$，得$\frac{\sqrt{m - 5}}{\sqrt{m}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$，解得$m=\frac{25}{3}$。综上，$m = 3$或$\frac{25}{3}$。

(1)如图所示，圆$O$的半径为定长$r$，$A$是圆$O$内一个定点，$P$是圆上任意一点，线段$AP$的垂直平分线$l$和半径$OP$相交于点$Q$，当点$P$在圆上运动时，点$Q$的轨迹是(A)


A.椭圆
B.双曲线
C.抛物线
D.圆

答案：
(1)A
(1)如图，连接$QA$。由已知得$|QA| = |QP|$，所以$|QO|+|QA| = |QO|+|QP| = |OP| = r$。又因为点$A$在圆内，所以$|OA|＜|OP|$，根据椭圆的定义，知点$Q$的轨迹是以$O,A$为焦点，$r$为长轴长的椭圆。故选A。

(2)(用结论)(2021·新高考Ⅰ卷)已知$F_1,F_2$是椭圆$C:\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1$的两个焦点，点$M$在$C$上，则$\vert MF_1\vert·\vert MF_2\vert$的最大值为(C)

A.$13$
B.$12$
C.$9$
D.$6$

答案：
(2)C
(2)由椭圆$C:\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$，得$|MF_1|+|MF_2| = 6$，则$|MF_1|·|MF_2|\leq(\frac{|MF_1|+|MF_2|}{2})^2 = 3^2 = 9$，当且仅当$|MF_1| = |MF_2| = 3$时等号成立。故选C。

(3)(一题多变)点$P$为椭圆$C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{4}=1(a＞2)$上一点，$F_1,F_2$分别为$C$的左、右焦点，且$\angle F_1PF_2 = 60^{\circ}$，则$\triangle PF_1F_2$的面积为$$_________$$.

答案：
(3)$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
(3)由题意知，$c=\sqrt{a^2 - 4}$。又$\angle F_1PF_2 = 60°$，$|PF_1|+|PF_2| = 2a$，$|F_1F_2| = 2\sqrt{a^2 - 4}$，所以$|F_1F_2|^2=(|PF_1|+|PF_2|)^2 - 2|PF_1||PF_2| - 2|PF_1||PF_2|\cos60° = 4a^2 - 3|PF_1||PF_2| = 4a^2 - 16$，所以$|PF_1||PF_2|=\frac{16}{3}$，所以$S_{\triangle PF_1F_2}=\frac{1}{2}|PF_1||PF_2|\sin60°=\frac{1}{2}×\frac{16}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$。

[变式探究]
(变条件)若将本例(3)中“$\angle F_1PF_2 = 60^{\circ}$”改成“$PF_1\perp PF_2$”，求$\triangle PF_1F_2$的面积.

答案： 解：因为$PF_1\perp PF_2$，所以$|PF_1|^2+|PF_2|^2 = |F_1F_2|^2 = 4(a^2 - 4) = 4a^2 - 16$，又$|PF_1|+|PF_2| = 2a$，所以$|PF_1|^2+|PF_2|^2 + 2|PF_1||PF_2| = 4a^2$，即$4a^2 - 16 + 2|PF_1||PF_2| = 4a^2$，所以$|PF_1|·|PF_2| = 8$，所以$S_{\triangle PF_1F_2}=\frac{1}{2}|PF_1||PF_2| = 4$。

(1)一动圆$P$与圆$A:(x + 1)^2 + y^2 = 1$外切，而与圆$B:(x - 1)^2 + y^2 = 64$内切，那么动圆的圆心$P$的轨迹是(A)
A. 椭圆
B. 双曲线
C. 抛物线
D. 双曲线的一支
(2)(2021·全国甲卷)已知$F_1,F_2$为椭圆$C:\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{4}=1$的两个焦点，$P,Q$为$C$上关于坐标原点对称的两点，且$\vert PQ\vert=\vert F_1F_2\vert$，则四边形$PF_1QF_2$的面积为$$8$$.

答案：
(1)A
(2)8
(1)设动圆$P$的半径为$r$，又圆$A:(x + 1)^2 + y^2 = 1$的半径为$1$，圆心为$A(-1,0)$，圆$B:(x - 1)^2 + y^2 = 64$的半径为$8$，圆心为$B(1,0)$，则$|PA| = r + 1$，$|PB| = 8 - r$，可得$|PA|+|PB| = 9$，又$9＞2 = |AB|$，则动圆的圆心$P$的轨迹是以$A,B$为焦点，长轴长为$9$的椭圆。故选A。
(2)根据椭圆的对称性及$|PQ| = |F_1F_2|$可以得到四边形$PF_1QF_2$为对角线相等的平行四边形，所以四边形$PF_1QF_2$为矩形。设$|PF_1| = m$，则$|PF_2| = 2a - |PF_1| = 8 - m$，则$|PF_1|^2 + |PF_2|^2 = m^2 + (8 - m)^2 = 2m^2 + 64 - 16m = |F_1F_2|^2 = 4c^2 = 4(a^2 - b^2) = 48$，得$m(8 - m) = 8$，所以四边形$PF_1QF_2$的面积为$|PF_1|·|PF_2| = m(8 - m) = 8$。

(2025·湖南长沙开学考)椭圆$C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a＞b＞0)$的左、右焦点分别为$F_1,F_2$，$P$为椭圆$C$上一点，且$PF_2$垂直于$x$轴，若$\vert F_1F_2\vert,\vert PF_2\vert,\vert PF_1\vert$成公差为$2$的等差数列，则椭圆$C$的方程是(D)

A.$\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1$
B.$\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1$
C.$\dfrac{x^2}{81}+\dfrac{y^2}{9}=1$
D.$\dfrac{x^2}{81}+\dfrac{y^2}{72}=1$

答案： 典例2 D 如图所示，由题知，$|F_1F_2| = 2c$，$|PF_2| = 2c + 2$，$|PF_1| = 2c + 4$，又$PF_2$垂直于$x$轴，所以$(2c)^2+(2c + 2)^2 = (2c + 4)^2$，解得$c = 3$，又由椭圆定义可得$2a = 2c + 2 + 2c + 4 = 18$，即$a = 9$，所以$b^2 = a^2 - c^2 = 81 - 9 = 72$，所以椭圆方程为$\frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{72}=1$。故选D。
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