《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

2. (链接北师选择性必修一 P33T1)若直线$2x + y - 1 = 0$是圆$x^2 + (y + a)^2 = 1$的一条对称轴，则$a =$(A)

A.$-1$
B.$1$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$-\dfrac{1}{2}$

答案： $A$ 圆$x^{2}+(y+a)^{2}=1$的圆心为$(0,-a)$,因为直线$2x + y - 1 = 0$是圆的一条对称轴,所以圆心$(0,-a)$在直线$2x + y - 1 = 0$上,所以$2×0+(-a)-1=0$,解得$a=-1$.故选$A$.

3. (链接北师选择性必修一 P30T4)已知点$M(3,1)$在圆$C:x^2 + y^2 - 2x + 4y + 2k + 4 = 0$外，则实数$k$的取值范围为(A)

A.$-6 ＜ k ＜ \dfrac{1}{2}$
B.$k ＜ -6$或$k ＞ \dfrac{1}{2}$
C.$k ＞ -6$
D.$k ＜ \dfrac{1}{2}$

答案： $A$ 因为圆$C:x^{2}+y^{2}-2x + 4y + 2k + 4 = 0$,所以圆$C$的标准方程为$(x - 1)^{2}+(y + 2)^{2}=1 - 2k$,所以圆心坐标为$(1,-2)$,半径$r=\sqrt{1 - 2k}$.若点$M(3,1)$在圆$C:x^{2}+y^{2}-2x + 4y + 2k + 4 = 0$外,则满足$\sqrt{(3 - 1)^{2}+(1 + 2)^{2}}＞\sqrt{1 - 2k}$,且$1 - 2k＞0$,即$13＞1 - 2k$且$k＜\frac{1}{2}$,即$-6＜k＜\frac{1}{2}$.故选$A$.

4. (链接北师选择性必修一 P33T3)已知圆$C$经过点$A(4,2)$和点$B(1,3)$，且圆心在直线$x - 2y = 0$上，则圆$C$的标准方程为$(x - 2)^{2}+(y - 1)^{2}=5$。

答案： $(x - 2)^{2}+(y - 1)^{2}=5$ 因为$A(4,2),B(1,3)$,所以直线$AB$的斜率为$k_{AB}=\frac{3 - 2}{1 - 4}=-\frac{1}{3}$,线段$AB$中点为$(\frac{5}{2},\frac{5}{2})$,所以$AB$的中垂线方程为$y-\frac{5}{2}=3(x-\frac{5}{2})$,即$3x - y - 5 = 0$.联立$\begin{cases}3x - y - 5 = 0,\\x - 2y = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 2,\\y = 1,\end{cases}$所以圆心$C$的坐标为$(2,1)$.根据两点间的距离公式,得半径$r = |CA|=\sqrt{(2 - 4)^{2}+(1 - 2)^{2}}=\sqrt{5}$,因此圆$C$的标准方程为$(x - 2)^{2}+(y - 1)^{2}=5$.

1. (一题多解)(2022·全国甲卷)设点$M$在直线$2x + y - 1 = 0$上，点$(3,0)$和$(0,1)$均在$\odot M$上，则$\odot M$的方程为$(x - 1)^{2}+(y + 1)^{2}=5$。

答案： $(x - 1)^{2}+(y + 1)^{2}=5 $法一:设$\odot M$的方程为$(x - a)^{2}+(y - b)^{2}=r^{2}(r＞0),$则$\begin{cases}2a + b - 1 = 0,\3 - a)^{2}+b^{2}=r^{2},\\a^{2}+(1 - b)^{2}=r^{2},\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 1,\\b = - 1,\\r^{2}=5,\end{cases}$所以$\odot M$的方程为$(x - 1)^{2}+(y + 1)^{2}=5.$
法二:设$\odot M$的方程为$x^{2}+y^{2}+Dx + Ey + F = 0(D^{2}+E^{2}-4F＞0),$则$M(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}).$
所以$\begin{cases}2·(-\frac{D}{2})+(-\frac{E}{2})-1 = 0,\\9 + 3D + F = 0,\\1 + E + F = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}D = - 2,\\E = 2,\\F = - 3,\end{cases}$所以$\odot M$的方程为$x^{2}+y^{2}-2x + 2y - 3 = 0,$即$(x - 1)^{2}+(y + 1)^{2}=5.$
法三:设$A(3,0),B(0,1),\odot M$的半径为r,则$k_{AB}=\frac{1 - 0}{0 - 3}=-\frac{1}{3},AB$的中点坐标为$(\frac{3}{2},\frac{1}{2}).$
所以AB的垂直平分线方程为$y-\frac{1}{2}=3(x-\frac{3}{2}),$即3x - y - 4 = 0.
联立$\begin{cases}3x - y - 4 = 0,\\2x + y - 1 = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 1,\\y = - 1,\end{cases}$所以M(1,-1),所以$r^{2}=$|MA|$^{2}=(3 - 1)^{2}+[0-(-1)]^{2}=5,$所以$\odot M$的方程为$(x - 1)^{2}+(y + 1)^{2}=5.$

2. (2025·河南郑州模拟)已知点$A(-2,1)$，$B(-1,0)$，$C(2,3)$，$M(a,2)$四点共圆，则$a =$$\pm\sqrt{5}$。

答案： $\pm\sqrt{5}$ 设过$A,B,C$的圆的方程为$x^{2}+y^{2}+Dx + Ey + F = 0$,$D^{2}+E^{2}-4F＞0$.
则$\begin{cases}4 + 1 - 2D + E + F = 0,\\1 - D + F = 0,\\4 + 9 + 2D + 3E + F = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}D = 0,\\E = - 4,\\F = - 1,\end{cases}$所以过$A,B,C$的圆的方程为$x^{2}+y^{2}-4y - 1 = 0$.又因为点$M$在此圆上,所以$a^{2}+4 - 8 - 1 = 0$,解得$a^{2}=5$,所以$a=\pm\sqrt{5}$.

3. 若圆$C$经过坐标原点，且圆心在直线$y = -2x + 3$上运动，当半径最小时，圆的方程为$(x-\frac{6}{5})^{2}+(y-\frac{3}{5})^{2}=\frac{9}{5}$。

答案： $(x-\frac{6}{5})^{2}+(y-\frac{3}{5})^{2}=\frac{9}{5}$ 设圆心坐标为$(a,-2a + 3)$,则圆的半径$r=\sqrt{(a - 0)^{2}+(-2a + 3 - 0)^{2}}=\sqrt{5a^{2}-12a + 9}=\sqrt{5(a-\frac{6}{5})^{2}+\frac{9}{5}}$.
当$a=\frac{6}{5}$时,$r_{min}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$.故所求圆的方程为$(x-\frac{6}{5})^{2}+(y-\frac{3}{5})^{2}=\frac{9}{5}$.

典例 2 已知圆$C:(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1$，点$M$是圆上的动点，$AM$与圆相切，且$|AM| = 2$，则点$A$的轨迹方程是(B)

A.$y^2 = 4x$
B.$x^2 + y^2 - 2x - 2y - 3 = 0$
C.$x^2 + y^2 - 2y - 3 = 0$
D.$y^2 = -4x$

答案： $B$ 因为圆$C:(x - 1)^{2}+(y - 1)^{2}=1$,所以圆心$C(1,1)$,半径$r = 1$,因为点$M$是圆上的动点,所以$|MC| = 1$,又$AM$与圆相切,且$|AM| = 2$,则$|AC|=\sqrt{|MC|^{2}+|AM|^{2}}=\sqrt{5}$,设$A(x,y)$,则$(x - 1)^{2}+(y - 1)^{2}=5$,即$x^{2}+y^{2}-2x - 2y - 3 = 0$.所以点$A$的轨迹方程为$x^{2}+y^{2}-2x - 2y - 3 = 0$.

(1)求线段$AP$中点的轨迹方程；

答案：
(1)设$AP$的中点为$M(x,y)$,由中点坐标公式可知点$P$的坐标为$(2x - 2,2y)$.
因为点$P$在圆$x^{2}+y^{2}=4$上,所以$(2x - 2)^{2}+(2y)^{2}=4$.
故线段$AP$中点的轨迹方程为$(x - 1)^{2}+y^{2}=1$.

(2)若$\angle PBQ = 90^{\circ}$，求线段$PQ$中点的轨迹方程。

答案：
(2)设$PQ$的中点为$N(x,y)$.在$Rt\triangle PBQ$中,$|PN| = |BN|$.
设$O$为坐标原点,连接$ON$(图略),
则$ON\perp PQ$,所以$|OP|^{2}=|ON|^{2}+|PN|^{2}=|ON|^{2}+|BN|^{2}$,
所以$x^{2}+y^{2}+(x - 1)^{2}+(y - 1)^{2}=4$.
故线段$PQ$中点的轨迹方程为$x^{2}+y^{2}-x - y - 1 = 0$.