《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

(1)求$f(x)$的单调区间；

答案： 解：
(1)因为$f(x)=a(x - 1) - \ln x + 1$，
所以$f^{\prime}(x)=a - \frac{1}{x}=\frac{ax - 1}{x},x ＞ 0$。
若$a \leq 0$，则$f^{\prime}(x) ＜ 0$恒成立，所以$f(x)$在$(0, +\infty)$上单调递减，即$f(x)$的单调递减区间为$(0, +\infty)$，无单调递增区间；
若$a ＞ 0$，则当$0 ＜ x ＜ \frac{1}{a}$时，$f^{\prime}(x) ＜ 0$，当$x ＞ \frac{1}{a}$时，$f^{\prime}(x) ＞ 0$，所以
$f(x)$的单调递减区间为$(0,\frac{1}{a})$，单调递增区间为$(\frac{1}{a}, +\infty)$。
综上，当$a \leq 0$时，$f(x)$的单调递减区间为$(0, +\infty)$，无单调递增区间；
当$a ＞ 0$时，$f(x)$的单调递减区间为$(0,\frac{1}{a})$，单调递增区间
为$(\frac{1}{a}, +\infty)$。

(2)当$a\leq2$时，证明：当$x＞1$时，$f(x)＜e^{x - 1}$恒成立。

答案：
(2)证明：因为$a \leq 2$，所以当$x ＞ 1$时，$e^{x - 1} - f(x)=e^{x - 1} - a(x - 1) +$
$\ln x - 1 \geq e^{x - 1} - 2x + \ln x + 1$。
令$g(x)=e^{x - 1} - 2x + \ln x + 1$，则只需证当$x ＞ 1$时$g(x) ＞ 0$。
易知$g^{\prime}(x)=e^{x - 1} - 2 + \frac{1}{x}$。
令$h(x)=g^{\prime}(x)$，则$h^{\prime}(x)=e^{x - 1} - \frac{1}{x^{2}}$在$(1, +\infty)$上单调递增，
则当$x ＞ 1$时，$h^{\prime}(x) ＞ h^{\prime}(1)=0$，所以$g^{\prime}(x)$在$(1, +\infty)$上单调递增，
所以当$x ＞ 1$时，$g^{\prime}(x) ＞ g^{\prime}(1)=0$，故$g(x)$在$(1, +\infty)$上单调递增，所
以当$x ＞ 1$时，$g(x) ＞ g(1)=0$，即当$x ＞ 1$时，$f(x) ＜ e^{x - 1}$恒成立。