《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

(1) 已知$3^{2x}=4^{3y}=12^{6}$，则$\frac{3}{x}+\frac{2}{y}$的值为1.
(2) (2025·湖南娄底期末)计算下列各式的值：
① $(\frac{3}{2})^{-\frac{1}{3}}×(-\frac{7}{6})^{0}+8^{\frac{1}{4}}×\sqrt[4]{2}+(\sqrt[3]{2}×\sqrt{3})^{6}-\sqrt{(-\frac{2}{3})^{\frac{2}{3}}}$；
② $\frac{\lg8+\lg125}{\lg\sqrt{10}·\lg0.1}-e^{\ln2}+\lg2-\lg\frac{1}{4}+3\lg5-\log_{3}2·\log_{4}9$.

答案：
(1)1 因为$3^{2x} = 4^{3y} = 12^{6}$,所以$2x = \frac{6\lg 12}{\lg 3}$,$3y = \frac{6\lg 12}{\lg 4}$,所以$\frac{3}{x} + \frac{2}{y} = \frac{2x + 3y}{xy} = \frac{\frac{6\lg 12}{\lg 3} + \frac{6\lg 12}{\lg 4}}{\frac{\lg 12}{lg 3} · \frac{\lg 3 + \lg 4}{\lg 12}} = \frac{\lg 3 + \lg 4}{\lg 12} = 1$.
(2)解：①原式$= (\frac{2}{3})^{-\frac{1}{2}} × 1 + 2^{3 × \frac{1}{4}} × 2^{\frac{1}{2}} + 2^{2} × 3^{3} - (\frac{2}{3})^{0} =$
$(\frac{2}{3})^{-1} + 2^{\frac{3}{4} + \frac{1}{2}} + 4 × 27 - (\frac{2}{3})^{0} = 2 + 108 = 110$.
②原式$= \frac{3}{2} × ( - 1) - 2 + \lg 2 + 2\lg 2 + 3\lg 5 - \frac{\lg 2}{\lg 3} · \frac{\lg 3}{\lg 2} = - 8 + 3(\lg 2 + \lg 5) - \frac{\lg 2 · \lg 3}{\lg 3 · \lg 2} = - 8 + 3 - 1 = - 6$.

典例2 (1) (2024·北京卷)生物丰富度指数$d=\frac{S - 1}{\ln N}$是河流水质的一个评价指标，其中$S$，$N$分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数. 生物丰富度指数$d$越大，水质越好. 如果某河流治理前后的生物种类数$S$没有变化，生物个体总数由$N_{1}$变为$N_{2}$，生物丰富度指数由$2.1$提高到$3.15$，则(D)

A.$3N_{2}=2N_{1}$
B.$2N_{2}=3N_{1}$
C.$N_{2}^{2}=N_{1}^{3}$
D.$N_{2}^{3}=N_{1}^{2}$

答案：
(1)D 由题意,得$\frac{S - 1}{\ln N_{1}} = 2.1$,$\frac{S - 1}{\ln N_{2}} = 3.15$.若$S$不变,则$2.1\ln N_{1} = 3.15\ln N_{2}$,即$2\ln N_{1} = 3\ln N_{2}$,所以$N_{1}^{2} = N_{2}^{3}$.故选D.

(2) (多选题)(2025·湖南长沙模拟)氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生$\beta$衰变，其半衰期是$12.43$年. 样本中氚的质量$N$随时间$t$(单位：年)的衰变规律满足$N = N_{0}·2^{-\frac{t}{12.43}}$，其中$N_{0}$表示氚原有的质量，则(参考数据：$\lg2\approx0.301$)(CD)

A.$t = 12.43\log_{2}\frac{N}{N_{0}}$
B.经过$24.86$年后，样本中的氚元素会全部消失
C.经过$62.15$年后，样本中的氚元素变为原来的$\frac{1}{32}$
D.若$x$年后，样本中氚元素的含量为$0.4N_{0}$，则$x＞16$

答案：
(2)CD 由题意得$N = N_{0} · 2^{- \frac{t}{12.43}}$,故得$t = - 12.43\log_{2}\frac{N}{N_{0}}$,故A错误;当$t = 24.86$时,$N = N_{0} · 2^{- \frac{24.86}{12.43}} = 2^{- 2} · N_{0} = \frac{1}{4}N_{0}$,故B错误;而当$t = 62.15$时,$N = N_{0} · 2^{- \frac{62.15}{12.43}} = 2^{- 5} · N_{0} = \frac{1}{32}N_{0}$,即经过$62.15$年后,样本中的氮元素变为原来的$\frac{1}{32}$,故C正确;由题意得$0.4N_{0} = N_{0} · 2^{- \frac{x}{12.43}} = - 12.43\log_{2}\frac{0.4N_{0}}{N_{0}} = - 12.43(\log_{2}2 - \log_{2}5) = - 12.43(1 - \frac{\lg 5}{\lg 2})$,将$\lg 2 \approx 0.301$代入其中,可得$x \approx - 12.43(1 - \frac{1 - 0.301}{0.301}) \approx 16.44 ＞ 16$,故D正确.故选CD.

(1) (2025·重庆九龙坡期末)放射性核素锶$89$会按某个衰减率衰减，设初始质量为$M_{0}$，质量$M$与时间$T$(单位：天)的函数关系式为$M = M_{0}·(\frac{1}{2})^{\frac{T}{H}}$(其中$H$为常数)，若锶$89$的半衰期(质量衰减一半所用时间)约为$50$天，那么质量为$M_{0}$的锶$89$经过$30$天衰减后质量约变为(参考数据：$2^{0.6}\approx1.516$)(D)

A.$0.72M_{0}$
B.$0.70M_{0}$
C.$0.68M_{0}$
D.$0.66M_{0}$

答案：
(1)D 由题意,锶89的半衰期(质量衰减一半所用的时间)约为50天,即$\frac{1}{2}M_{0} = M_{0} · (\frac{1}{2})^{\frac{H}{50}}$,则$H = 50$,所以质量为$M_{0}$的锶89经过30天衰减后,质量大约为$M_{0} · (\frac{1}{2})^{\frac{30}{50}} = M_{0} · (\frac{1}{2})^{0.6} = M_{0} · \frac{1}{2^{0.6}} \approx M_{0} × \frac{1}{1.516} \approx 0.66M_{0}$.故选D.

(2) (多选题)(2025·安徽六安期末)地震释放的能量$E$与地震震级$M$之间的关系式为$\lg E = 4.8 + 1.5M$，$2024$年$8$月$12$日日本宫崎县发生的$7.1$级地震释放的能量为$E_{1}$，$2023$年$1$月$28$日伊朗西北发生的$5.9$级地震释放的能量为$E_{2}$，$2023$年$2$月$6$日土耳其卡赫拉曼马拉什省发生的$7.8$级地震释放的能量为$E_{3}$，下列说法正确的是(BC)

A.$E_{1}$约为$E_{2}$的$10$倍
B.$E_{3}$超过$E_{2}$的$100$倍
C.$E_{3}$超过$E_{1}$的$10$倍
D.$E_{3}$低于$E_{1}$的$10$倍

答案：
(2)BC 对于A,$\lg E_{1} - \lg E_{2} = 1.5 × (7.1 - 5.9)$,所以$\frac{E_{1}}{E_{2}} = 10^{1.8}$,故A错误;对于B,$\lg E_{3} - \lg E_{2} = 1.5 × (7.8 - 5.9)$,$\frac{E_{3}}{E_{2}} = 10^{2.85} ＞ 100$,故B正确;对于C,$\lg E_{3} - \lg E_{1} = 1.5 × (7.8 - 7.1)$,$\frac{E_{3}}{E_{1}} = 10^{1.05} ＞ 10$,故C正确,D错误.故选BC.