《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

2. (链接北师选择性必修二 P19 练习 T2) 设等差数列$\{ a_{n}\}$的前$ n $项和为$ S_{n} $，若$ a_{4} + a_{7} = 6 $，则$ S_{10} = $(D)

A.$ 19 $
B.$ 21 $
C.$ 27 $
D.$ 30 $

答案： 2.D 等差数列$\{ a_n \}$的前$n$项和为$S_n$,$a_4 + a_7 = 6$,所以$S_{10} = \frac{a_1 + a_{10}}{2} × 10 = 5(a_4 + a_7) = 30$. 故选 D.

3. (链接北师选择性必修二 P17T3，改编) 设数列$\{ a_{n}\}$是等差数列，其前$ n $项和为$ S_{n} $，若$ a_{6} = 2 $且$ S_{5} = 30 $，则$ S_{8} $等于(B)

A.$ 31 $
B.$ 32 $
C.$ 33 $
D.$ 34 $

答案： 3.B 由题意知$\begin{cases} a_1 + 5d = 2, \\ 5a_1 + 10d = 30, \end{cases}$解得$\begin{cases} a_1 = \frac{26}{3}, \\ d = - \frac{4}{3}. \end{cases}$所以$S_8 = 8a_1 + \frac{8 × 7}{2}d = 8 × \frac{26}{3} - 28 × \frac{4}{3} = 32$. 故选 B.

4. (链接北师选择性必修二 P17 例 7) 某剧场有$ 20 $排座位，后一排比前一排多$ 2 $个座位，最后一排有$ 60 $个座位，则剧场总共的座位数为820.

答案： 4.820 设第$n$排的座位数为$a_n$($n \in \mathbf{N}_+$),数列$\{ a_n \}$为等差数列,其公差$d = 2$,则$a_n = a_1 + (n - 1)d = a_1 + 2(n - 1)$. 由已知$a_{20} = 60$,得$60 = a_1 + 2 × (20 - 1)$,解得$a_1 = 22$,则剧场总共的座位数为$\frac{20(a_1 + a_{20})}{2} = \frac{20 × (22 + 60)}{2} = 820$.

1. (2019·全国I卷) 记$ S_{n} $为等差数列$\{ a_{n}\}$的前$ n $项和. 已知$ S_{4} = 0 $，$ a_{5} = 5 $，则(A)

A.$ a_{n} = 2n - 5 $
B.$ a_{n} = 3n - 10 $
C.$ S_{n} = 2n^{2} - 8n $
D.$ S_{n} = \dfrac {1}{2}n^{2} - 2n $

答案： 1.A 设等差数列$\{ a_n \}$的公差为$d$,因为$\begin{cases} S_4 = 0, \\ a_5 = 5, \end{cases}$所以$\begin{cases} 4a_1 + \frac{4 × 3}{2}d = 0, \\ a_1 + 4d = 5, \end{cases}$解得$\begin{cases} a_1 = -3, \\ d = 2. \end{cases}$所以$a_n = a_1 + (n - 1)d = -3 + 2(n - 1) = 2n - 5$,$S_n = na_1 + \frac{n(n - 1)}{2}d = n^2 - 4n$. 故选 A.

2. (一题多解)(2023·全国甲卷文) 记$ S_{n} $为等差数列$\{ a_{n}\}$的前$ n $项和. 若$ a_{2} + a_{6} = 10 $，$ a_{4}a_{8} = 45 $，则$ S_{5} = $(C)

A.$ 25 $
B.$ 22 $
C.$ 20 $
D.$ 15 $

答案： 2.C 法一:设等差数列$\{ a_n \}$的公差为$d$,首项为$a_1$,依题意可得,$a_2 + a_6 = a_1 + d + a_1 + 5d = 10$,即$a_1 + 3d = 5$.又$a_4a_8 = (a_1 + 3d)(a_1 + 7d) = 45$,解得$d = 1$,$a_1 = 2$,所以$S_5 = 5a_1 + \frac{5 × 4}{2}d = 5 × 2 + 10 = 20$. 故选 C.
法二:$a_2 + a_6 = 2a_4 = 10$,$a_4a_8 = 45$,所以$a_4 = 5$,$a_8 = 9$,从而$d = \frac{a_8 - a_4}{8 - 4} = 1$,于是$a_3 = a_4 - d = 5 - 1 = 4$,所以$S_5 = 5a_3 = 20$. 故选 C.

3. (2025·广东汕头模拟) 已知等差数列$\{ a_{n}\}$的前$ n $项和为$ S_{n} $，$ a_{2} = 3 $，$ a_{2n} = 2a_{n} + 1 $，若$ S_{n} + a_{n + 1} = 100 $，则$ n = $(B)

A.$ 8 $
B.$ 9 $
C.$ 10 $
D.$ 11 $

答案： 3.B 由$a_2 = 3$,$a_{2n} = 2a_n + 1$,得$a_2 = 2a_1 + 1 = 3$,解得$a_1 = 1$,即等差数列$\{ a_n \}$的公差$d = 2$,于是$a_n = 2n - 1$,$S_n = \frac{1 + 2n - 1}{2} · n = n^2$,由$S_n + a_{n + 1} = 100$,得$n^2 + 2n + 1 = 100$,所以$n = 9$. 故选 B.

4. (2025·北京西城模拟)《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，被誉为人类科学史上应用数学的最早巅峰. 全书分为九章，卷第六“均输”有一问题：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升，问中间二节欲均容，各多少?”其意思为：“今有竹$ 9 $节，下$ 3 $节容量$ 4 $升，上$ 4 $节容量$ 3 $升，且竹节容积从下到上均匀变化，每节容量是多少?”在这个问题中，从下部算起第$ 5 $节容量是$\frac{67}{66}$升(结果保留分数).

答案： 4.$\frac{67}{66}$ 根据题意,设从下部算起,易得数列$\{ a_n \}$为等差数列,则$a_1 + a_2 + a_3 = 3a_1 + 3d = 4$,$a_6 + a_7 + a_8 + a_9 = 4a_1 + 26d = 3$,解得$a_1 = \frac{95}{66}$,$d = - \frac{7}{66}$,则$a_5 = a_1 + 4d = \frac{67}{66}$升.

(2021·全国甲卷理) 已知数列$\{ a_{n}\}$的各项均为正数，记$ S_{n} $为$\{ a_{n}\}$的前$ n $项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
① 数列$\{ a_{n}\}$是等差数列；② 数列$\{ \sqrt {S_{n}}\}$是等差数列；③ $ a_{2} = 3a_{1} $.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

答案： 典例1 解:①③$\Rightarrow$②.
已知$\{ a_n \}$是等差数列,$a_2 = 3a_1$,
设数列$\{ a_n \}$的公差为$d$,则$a_2 = 3a_1 = a_1 + d$,得$d = 2a_1$,
所以$S_n = na_1 + \frac{n(n - 1)}{2}d = n^2a_1$.
因为数列$\{ a_n \}$的各项均为正数,所以$\sqrt{S_n} = n\sqrt{a_1}$,
所以$\sqrt{S_{n + 1}} - \sqrt{S_n} = (n + 1)\sqrt{a_1} - n\sqrt{a_1} = \sqrt{a_1}$(常数),所以数列$\{ \sqrt{S_n} \}$是等差数列.
①②$\Rightarrow$③.
已知$\{ a_n \}$是等差数列,$\{ \sqrt{S_n} \}$是等差数列.
设数列$\{ a_n \}$的公差为$d$,则$S_n = na_1 + \frac{n(n - 1)}{2}d = \frac{1}{2}n^2d + (a_1 - \frac{d}{2})n$.
因为数列$\{ \sqrt{S_n} \}$是等差数列,所以数列$\{ \sqrt{S_n} \}$的通项公式是关于$n$的一次函数,
则$a_1 - \frac{d}{2} = 0$,即$d = 2a_1$,所以$a_2 = a_1 + d = 3a_1$.
②③$\Rightarrow$①.
已知数列$\{ \sqrt{S_n} \}$是等差数列,$a_2 = 3a_1$,
所以$S_1 = a_1$,$S_2 = a_1 + a_2 = 4a_1$.
设数列$\{ \sqrt{S_n} \}$的公差为$d$,$d ＞ 0$,
则$\sqrt{S_2} - \sqrt{S_1} = \sqrt{4a_1} - \sqrt{a_1} = d$,得$a_1 = d^2$,
所以$\sqrt{S_n} = \sqrt{S_1} + (n - 1)d = nd$,所以$S_n = n^2d^2$,
所以$a_n = S_n - S_{n - 1} = n^2d^2 - (n - 1)^2d^2 = 2d^2n - d^2$($n \geq 2$),是关于$n$的一次函数,
且$a_1 = d^2$满足上式,所以数列$\{ a_n \}$是等差数列.