《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

1. 公式法
直接利用等差数列、等比数列的前 $ n $ 项和公式求和.
(1) 等差数列的前 $ n $ 项和公式：
$ S_{n} = $$\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}$ $ = $$na_{1}+\frac{n(n - 1)}{2}d$.
(2) 等比数列的前 $ n $ 项和公式：
$ S_{n} = \begin{cases}na_{1}, q = 1, \\ \dfrac{a_{1} - a_{n}q}{1 - q} = $_________$ , q \neq 1.\end{cases}$

答案： $1.(1)\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2} na_{1}+\frac{n(n - 1)}{2}d (2)\frac{a_{1}(1 - q^{n})}{1 - q}$

2. 分组求和法与并项求和法
(1) 分组求和法：若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减.
(2) 并项求和法：一个数列的前 $ n $ 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和. 形如 $ a_{n} = (-1)^{n}f(n) $ 类型，可采用两项合并求解.

答案：
(1) 分组求和法示例
求数列 a_n = n + 2^n 的前 n 项和 S_n 。
解：
将 a_n 拆分为等差数列 n 和等比数列 2^n ，分别求和：
等差数列和$ S_1 = \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2} ，$
等比数列和$ S_2 = \sum_{k=1}^n 2^k = 2^{n+1} - 2 ，$
因此，
$ S_n = S_1 + S_2 = \frac{n(n+1)}{2} + 2^{n+1} - 2. (2) $并项求和法示例 求数列 a_n = (-1)^n n 的前 n 项和 S_n 。 解： 当 n 为偶数时，两两结合：$ S_n = \sum_{k=1}^{n/2} [-(2k-1) + 2k] = \sum_{k=1}^{n/2} 1 = \frac{n}{2}. $
当 n 为奇数时，前 n-1 项和为$ \frac{n-1}{2} ，$第 n 项为 -n ，
因此，
$ S_n = \frac{n-1}{2} - n = -\frac{n+1}{2}. $综上，$ S_n = \begin{cases} $
$\frac{n}{2}, & n $为偶数, \\
$-\frac{n+1}{2}, & n $为奇数.
$\end{cases} $

3. 错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前 $ n $ 项和即可用此法来求，如等比数列的前 $ n $ 项和公式就是用此法推导的.

答案： 设等差数列公差为$d$，首项为$a_1$，等比数列公比为$q$，首项为$b_1$（若特别地，如求等比数列和，可设等比数列$\{b_n\}$，公比$q$，首项$b_1$，此时等差数列退化为各项相同的常数数列，公差$0$），新数列$\{c_n\}$，其中$c_n=(a_n)×(b_n)$（$a_n$为等差数列第$n$项，$b_n$为等比数列第$n$项）。
则$c_n=[a_1+(n - 1)d]× b_1q^{n - 1}$，其前$n$项和$S_n$为：
$S_n=a_1b_1 + [a_1 + d]b_1q+[a_1 + 2d]b_1q^{2}+·s+[a_1+(n - 1)d]b_1q^{n - 1}$，①
$qS_n=a_1b_1q+[a_1 + d]b_1q^{2}+·s+[a_1+(n - 2)d]b_1q^{n - 1}+[a_1+(n - 1)d]b_1q^{n}$，②
① - ②得：
$(1 - q)S_n=a_1b_1+d b_1q+d b_1q^{2}+·s+d b_1q^{n - 1}-[a_1+(n - 1)d]b_1q^{n}$
当$q\neq1$时：
$(1 - q)S_n=a_1b_1+\frac{d b_1q(1 - q^{n - 1})}{1 - q}-[a_1+(n - 1)d]b_1q^{n}$
$S_n=\frac{a_1b_1}{1 - q}+\frac{d b_1q(1 - q^{n - 1})}{(1 - q)^2}-\frac{[a_1+(n - 1)d]b_1q^{n}}{1 - q}$
若为等比数列求和（此时等差数列公差$d = 0$，首项$a_1 = 1$），设等比数列$\{a_n\}$，首项$a_1$，公比$q$，则$a_n=a_1q^{n - 1}$，其前$n$项和$S_n=a_1+a_1q+a_1q^{2}+·s+a_1q^{n - 1}$，③
$qS_n=a_1q+a_1q^{2}+·s+a_1q^{n - 1}+a_1q^{n}$，④
③ - ④得：
$(1 - q)S_n=a_1 - a_1q^{n}$
$S_n=\begin{cases}na_1, &q = 1\\frac{a_1(1 - q^{n})}{1 - q},&q\neq1\end{cases}$
综上，对于等差数列与等比数列对应项乘积构成的新数列求和用错位相减法，等比数列求和公式为$S_n=\begin{cases}na_1, &q = 1\\frac{a_1(1 - q^{n})}{1 - q},&q\neq1\end{cases}$。

4. 裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.
常见的裂项技巧：
(1) $ \dfrac{1}{n(n + 1)} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n + 1} $.
(2) $ \dfrac{1}{n(n + 2)} = \dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n + 2} \right) $.
(3) $ \dfrac{1}{(2n - 1)(2n + 1)} = \dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{2n - 1} - \dfrac{1}{2n + 1} \right) $.
(4) $ \dfrac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n + 1}} = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n} $.
(5) $ \dfrac{1}{n(n + 1)(n + 2)} = \dfrac{1}{2}\left[ \dfrac{1}{n(n + 1)} - \dfrac{1}{(n + 1)(n + 2)} \right] $.
[微提醒] (1) 错位相减求和时注意中间相减后的项数及前后符号变化. (2) 裂项相消求和时注意前后剩余项数一致及拆分系数等价.

答案： 答题卡：
由题意，选择例题（假设题目为求$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}$ 的和）：
$\begin{align}\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} &= \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) \\&= \left( 1 - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + ·s + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \\&= 1 - \frac{1}{n+1} \\&= \frac{n}{n+1}\end{align}$
最终结论：$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = \frac{n}{n+1}$。

1. (多选题) 下列结论中正确的是 (AD)

A.如果数列 $ \{ a_{n} \} $ 为等比数列，且公比不等于 $ 1 $，则其前 $ n $ 项和 $ S_{n} = \dfrac{a_{1} - a_{n + 1}}{1 - q} $
B.求 $ S_{n} = a + 2a^{2} + 3a^{3} + ·s + na^{n} $ 时，只要把上式等号两边同时乘 $ a $ 即可根据错位相减法求得
C.已知等差数列 $ \{ a_{n} \} $ 的公差为 $ d $，则有 $ \dfrac{1}{a_{n}a_{n + 1}} = \dfrac{1}{d}\left( \dfrac{1}{a_{n}} - \dfrac{1}{a_{n + 1}} \right) $
D.$ \sin^{2}1^{\circ} + \sin^{2}2^{\circ} + \sin^{2}3^{\circ} + ·s + \sin^{2}88^{\circ} + \sin^{2}89^{\circ} = 44.5 $

答案： 1.AD

2. (链接北师选必二 P45T15，改编) 若数列 $ \{ a_{n} \} $ 的通项公式 $ a_{n} = 1 + (-1)^{n}(n \in \mathbf{N}_{+}) $，则 $ \{ a_{n} \} $ 的前 $ 9 $ 项和 $ S_{9} = $ (C)

A.$ 4 $
B.$ 6 $
C.$ 8 $
D.$ 10 $

答案： 2.C 因为$a_{n}=1+(-1)^{n}，$则$S_{9}=[1+(-1)^{1}]+[1+(-1)^{2}]+[1+(-1)^{3}]+·s+[1+(-1)^{9}]=(1 - 1+1+·s+1)+[(-1)^{1}+(-1)^{2}+(-1)^{3}+·s+(-1)^{9}]=9+\frac{(-1)[1-(-1)^{9}]}{1-(-1)}=8. $故选C.