《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

1. (多选题)下列说法中正确的有(BC)

A.$\left(\sin \dfrac{\pi}{4}\right)' = \cos \dfrac{\pi}{4}$
B.已知函数 $ f(x) $ 在 $\mathbf{R}$ 上可导，且 $ f'(1) = 1 $，则 $\lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(1 + \Delta x) - f(1)}{\Delta x} = 1$
C.一质点 $ A $ 沿直线运动，位移 $ y $(单位：$m$)与时间 $ t $(单位：$s$)之间的关系为 $ y(t) = t^2 + 1 $，则该质点在 $ t = 2 \ s $ 时的瞬时速度是 $ 4 \ m/s $
D.若 $ y = f(x) · g(x) $，则 $ y' = f'(x) · g'(x) $

答案： 1.BC

2. (链接北师选择性必修二 P73T5，改编)已知函数 $ f(x) = \dfrac{e^x}{x} $，则 $ f'(1) =$(A)

A.$ 0 $
B.$ 1 $
C.$ e $
D.$ 2e $

答案： 2.A 依题意,$f^{\prime}(x)=\frac{(x - 1)e^{x}}{x^{2}}$,故$f^{\prime}(1) = 0$.故选A.

3. (多选题)(链接北师选择性必修二 P73T4，改编)下列结论中正确的有(ACD)

A.$\left[\sin\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right)\right]' = 2\cos\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right)$
B.$(\ln 2x)' = \dfrac{1}{2x}$
C.$(2xe^x)' = 2e^x(x + 1)$
D.$(x^2 + \sqrt{x})' = 2x + \dfrac{\sqrt{x}}{2x}$

答案： 3.ACD 对于A,$[\sin(2x - \frac{\pi}{3})]^{\prime} = 2\cos(2x - \frac{\pi}{3})$,故A正确;对于B,$(\ln2x)^{\prime} = \frac{2}{2x} = \frac{1}{x}$,故B错误;对于C,$(2xe^{x})^{\prime} = 2[x^{\prime}e^{x} + (e^{x})^{\prime}x] =$
$2e^{x}(x + 1)$,故C正确;对于D,$(x^{2} + \sqrt{x})^{\prime} = (x^{2})^{\prime} + (\sqrt{x})^{\prime} = 2x + \frac{1}{2\sqrt{x}}$,故D正确.故选ACD.

4. (链接北师选择性必修二 P73T3，改编)函数 $ f(x) = e^x + \dfrac{1}{x} $ 在 $ x = 1 $ 处的切线方程为$y = (e - 1)x + 2$.

答案： 4.$y = (e - 1)x + 2$ 由题意得,$f^{\prime}(x) = e^{x} - \frac{1}{x^{2}}$,所以$f^{\prime}(1) = e - 1$,又因$f(1) = e + 1$,所以切点为$(1,e + 1)$,切线斜率$k = f^{\prime}(1) = e - 1$,即切线方程为$y - (e + 1) = (e - 1)(x - 1)$,即$y = (e - 1)x + 2$.

1. (2025·四川内江模拟)已知函数 $ f(x) = -\dfrac{1}{2}x^2 + \ln x $，则 $\lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(1 + \Delta x) - f(1)}{\Delta x}$ 的值为(D)

A.$ e $
B.$ -2 $
C.$ -\dfrac{1}{2} $
D.$ 0 $

答案： 1.D 因为$f^{\prime}(x) = -x + \frac{1}{x}$,所以$f^{\prime}(1) = -1 + 1 = 0$,所以$\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(1 + \Delta x) - f(1)}{\Delta x} = 0$.故选D.

2. (多选题)(2025·陕西渭南期中)下列函数的求导运算正确的是(BCD)

A.$\left(\dfrac{\ln x}{x^2}\right)' = \dfrac{x^2 - 2\ln x}{x^3}$
B.$(x^3 - 2^x + 1)' = 3x^2 - 2^x \ln 2$
C.$\left(\dfrac{1}{\sqrt{x} - 1} - \dfrac{1}{\sqrt{x} + 1}\right)' = -\dfrac{2}{(x - 1)^2}$
D.$\left[\sin^2\left(2x + \dfrac{\pi}{6}\right)\right]' = 2\sin\left(4x + \dfrac{\pi}{3}\right)$

答案： 2.BCD 对于A,$(\frac{\ln x}{x^{2}})^{\prime} = \frac{\frac{1}{x} · x^{2} - 2x\ln x}{x^{4}} = \frac{1 - 2\ln x}{x^{3}}$,故A错误;对于B,$(x^{3} - 2^{x} + 1)^{\prime} = 3x^{2} - 2^{x}\ln 2$,故B正确;对于C,$(\frac{1}{\sqrt{x + 1}})^{\prime} = (\frac{1}{(x + 1)^{\frac{1}{2}}})^{\prime} = -\frac{2}{(x - 1)^{2}}$,（此处原书内容疑似有误，应为$-\frac{1}{2}(x+1)^{-\frac{3}{2}}=-\frac{1}{2\sqrt{(x+1)^3}}$ ）故C正确;对于D,$[\sin^{2}(2x + \frac{\pi}{6})]^{\prime} = 2\sin(2x + \frac{\pi}{6}) · \cos(2x + \frac{\pi}{6}) · 2 = 2\sin(4x + \frac{\pi}{3})$,故D正确.故选BCD.

3. (2025·山东威海期末)已知函数 $ f(x) $ 的导函数为 $ f'(x) $，且 $ f(x) = x^3 + 2x f'(1) - \ln x $，则 $ f'(1) =$$-2$.

答案： 3.$-2$ 由$f(x) = x^{3} + 2xf^{\prime}(1) - \ln x$,可得$f^{\prime}(x) = 3x^{2} + 2f^{\prime}(1) - \frac{1}{x}$.
所以$f^{\prime}(1) = 3×1^{2} + 2f^{\prime}(1) - \frac{1}{1}$,解得$f^{\prime}(1) = -2$.