《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

典例 3 (多选题)(2025·江苏扬州模拟)已知函数 $ f(x)=2 \cos ^{2}\left(x-\frac{\pi}{6}\right) $，则(BC)

A.$ f(x) $ 最小正周期为 $ 2\pi $
B.$ x=\frac{\pi}{6} $ 是 $ f(x) $ 图象的一条对称轴
C.$ \left(\frac{5\pi}{12}, 1\right) $ 是 $ f(x) $ 图象的一个对称中心
D.$ f(x) $ 在 $ \left(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right) $ 上单调

答案： 典例3 BC $f(x)=2\cos^{2}(x - \frac{\pi}{6})=\cos(2x-\frac{\pi}{3}) + 1$，对于A，$f(x)$的最小正周期为$\frac{2\pi}{2}=\pi$，故A错误；对于B，令$2×\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{3}=k\pi(k\in\mathbf{Z})$可得$k = 0$，所以$y = f(x)$的图象关于直线$x=\frac{\pi}{6}$对称，故B正确；对于C，令$2×\frac{5\pi}{12}-\frac{\pi}{3}=k\pi+\frac{\pi}{2}(k\in\mathbf{Z})$可得$k = 0$，且$f(\frac{5\pi}{12})=1$，所以$y = f(x)$的图象关于点$(\frac{5\pi}{12},1)$对称，故C正确；对于D，因为$x\in(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4})$，所以$2x-\frac{\pi}{3}\in(-\frac{5\pi}{6},\frac{\pi}{6})$，由$y = \cos x$在$(-\frac{5\pi}{6},0)$上单调递增，在$(0,\frac{\pi}{6})$上单调递减可知，$f(x)$在$(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{6})$上单调递增，在$(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4})$上单调递减，故D错误。故选BC.

(1)(多选题)(2025·湖北襄阳模拟)下列说法正确的是(BC)
A. 若函数 $ f(x)=\tan \left(2 \omega x-\frac{\pi}{6}\right) $ $ (\omega＞0) $ 的最小正周期为 $ \frac{\pi}{2} $，则 $ \omega $ 的值为 2
B. 函数 $ y=\sin \left(x+\frac{3}{2} \pi\right)(x \in \mathbf{R}) $ 是偶函数
C. 点 $ \left(-\frac{5\pi}{12}, 0\right) $ 是函数 $ y=\cos \left(2 x+\frac{4\pi}{3}\right) $ 图象的一个对称中心
D. 函数 $ y=\sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right) $ 在 $ [0, \pi] $ 上的单调递增区间是 $ \left[0, \frac{\pi}{8}\right] $
(2)(一题多解)(多选题)(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数 $ f(x)=\sin (2 x+\varphi)(0＜\varphi＜\pi) $ 的图象关于点 $ \left(\frac{2\pi}{3}, 0\right) $ 中心对称，则(AD)
A. $ f(x) $ 在区间 $ \left(0, \frac{5\pi}{12}\right) $ 单调递减
B. $ f(x) $ 在区间 $ \left(-\frac{\pi}{12}, \frac{11\pi}{12}\right) $ 有两个极值点
C. 直线 $ x=\frac{7\pi}{6} $ 是曲线 $ y=f(x) $ 的对称轴
D. 直线 $ y=\frac{\sqrt{3}}{2}-x $ 是曲线 $ y=f(x) $ 的切线

答案： 对点练2.
(1)BC
(2)AD
(1)对于A，由已知得$T=\frac{\pi}{2\omega}=\frac{\pi}{2}$，即$\omega = 1$，故A错误；对于B，函数$y=\sin(x+\frac{3\pi}{2})=-\cos x(x\in\mathbf{R})$是偶函数，故B正确；对于C，当$x=-\frac{5\pi}{12}$时，$y=\cos[2(-\frac{5\pi}{12})+\frac{4\pi}{3}]=\cos\frac{\pi}{2}=0$，故点$(-\frac{5\pi}{12},0)$是函数$y=\cos(2x+\frac{4\pi}{3})$图象的一个对称中心，故C正确；对于D，令$-\frac{\pi}{2}+2k\pi\leqslant2x+\frac{\pi}{4}\leqslant\frac{\pi}{2}+2k\pi,k\in\mathbf{Z}$，解得$-\frac{3\pi}{8}+k\pi\leqslant x\leqslant\frac{\pi}{8}+k\pi,k\in\mathbf{Z}$，令$k = 0$，得函数的一个单调递增区间为$[-\frac{3\pi}{8},\frac{\pi}{8}]$，令$k = 1$，得函数的一个单调递增区间为$[\frac{5\pi}{8},\frac{9\pi}{8}]$，故在$[0,\pi]$上的单调递增区间是$[0,\frac{\pi}{8}],[\frac{5\pi}{8},\pi]$，故D错误。故选BC.
(2)法一：由$2x+\varphi=k\pi(k\in\mathbf{Z})$，得$x=\frac{k\pi}{2}-\frac{\varphi}{2}(k\in\mathbf{Z})$。因为函数$f(x)$的图象关于点$(\frac{2\pi}{3},0)$中心对称，所以$\frac{k\pi}{2}-\frac{\varphi}{2}=\frac{2\pi}{3}$，即$\varphi=k\pi-\frac{4\pi}{3}(k\in\mathbf{Z})$，结合$0＜\varphi＜\pi$，得$\varphi=\frac{2\pi}{3}$，所以$f(x)=\sin(2x+\frac{2\pi}{3})$。
法二：因为函数$f(x)$的图象关于点$(\frac{2\pi}{3},0)$中心对称，所以$\sin(2×\frac{2\pi}{3}+\varphi)=0$，可得$\frac{4\pi}{3}+\varphi=k\pi(k\in\mathbf{Z})$，结合$0＜\varphi＜\pi$，得$\varphi=\frac{2\pi}{3}$，所以$f(x)=\sin(2x+\frac{2\pi}{3})$。对于A，由$2k\pi+\frac{\pi}{2}\leqslant2x+\frac{2\pi}{3}\leqslant2k\pi+\frac{3\pi}{2}(k\in\mathbf{Z})$，得$k\pi-\frac{\pi}{12}\leqslant x\leqslant k\pi+\frac{5\pi}{12}(k\in\mathbf{Z})$，当$k = 0$时，$-\frac{\pi}{12}\leqslant x\leqslant\frac{5\pi}{12}$。因为$(0,\frac{5\pi}{12})\subseteq[-\frac{\pi}{12},\frac{5\pi}{12}]$，所以函数$f(x)$在区间$(0,\frac{5\pi}{12})$单调递减，故A正确；对于B，由$2x+\frac{2\pi}{3}=k\pi+\frac{\pi}{2}(k\in\mathbf{Z})$，得$x=\frac{k\pi}{2}-\frac{\pi}{12}(k\in\mathbf{Z})$，当$k = 0$时，$x=-\frac{\pi}{12}$，当$k = 1$时，$x=\frac{5\pi}{12}$，当$k = 2$时，$x=\frac{11\pi}{12}$，所以函数$f(x)$在区间$(-\frac{\pi}{12},\frac{11\pi}{12})$只有一个极值点，故B不正确；对于C，由选项B的分析知，函数$f(x)$图象的对称轴方程为$x=\frac{k\pi}{2}-\frac{\pi}{12}(k\in\mathbf{Z})$，而方程$\frac{k\pi}{2}-\frac{\pi}{12}=\frac{7\pi}{6}(k\in\mathbf{Z})$无解，故C不正确；对于D，因为$f^{\prime}(x)=2\cos(2x+\frac{2\pi}{3})$，若直线$y=\frac{\sqrt{3}}{2}x$为曲线$y = f(x)$的切线，则由$2\cos(2x+\frac{2\pi}{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，得$2x+\frac{2\pi}{3}=2k\pi+\frac{2\pi}{3}$或$2x+\frac{2\pi}{3}=2k\pi+\frac{4\pi}{3}(k\in\mathbf{Z})$，所以$x=k\pi$或$x=k\pi+\frac{\pi}{3}(k\in\mathbf{Z})$。当$x=k\pi(k\in\mathbf{Z})$时，$f(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}$，则由$\frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}k\pi(k\in\mathbf{Z})$，解得$k = 0$；当$x=k\pi+\frac{\pi}{3}(k\in\mathbf{Z})$时，$f(x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，方程$-\frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}k\pi-\frac{\pi}{3}(k\in\mathbf{Z})$无解。综上所述，直线$y=-\frac{\sqrt{3}}{2}x$为曲线$y = f(x)$的切线，故D正确。故选AD.

(多选题)(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数 $ f(x)=\sin 2x $ 和 $ g(x)=\sin \left(2 x-\frac{\pi}{4}\right) $，下列说法中正确的有(BC)

A.$ f(x) $ 与 $ g(x) $ 有相同的零点
B.$ f(x) $ 与 $ g(x) $ 有相同的最大值
C.$ f(x) $ 与 $ g(x) $ 有相同的最小正周期
D.$ f(x) $ 与 $ g(x) $ 的图象有相同的对称轴

答案： 真题再现 BC 对于A，令$f(x)=0$，则$x=\frac{k\pi}{2},k\in\mathbf{Z}$，又$g(\frac{k\pi}{2})\neq0$，故A错误；对于B，$f(x)$与$g(x)$的最大值都为1，故B正确；对于C，$f(x)$与$g(x)$的最小正周期都为$\pi$，故C正确；对于D，$f(x)$图象的对称轴方程为$2x=\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbf{Z}$，即$x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2},k\in\mathbf{Z}$，$g(x)$图象的对称轴方程为$2x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbf{Z}$，即$x=\frac{3\pi}{8}+\frac{k\pi}{2},k\in\mathbf{Z}$，故$f(x)$与$g(x)$的图象的对称轴不相同，故D错误。故选BC.