《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

1. 一元二次不等式
(1)一元二次不等式的概念
一般地，形如$ax^{2}+bx+c＞0$$ax^{2}+bx+c＞0$，或$ax^{2}+bx+c＜0$$ax^{2}+bx+c＜0$，或$ax^{2}+bx+c\geq0$$ax^{2}+bx+c\geq0$，或$ax^{2}+bx+c\leq0$$ax^{2}+bx+c\leq0$(其中，$x$ 为未知数，$a$，$b$，$c$ 均为常数，且 $a\neq0$)的不等式叫作一元二次不等式。
(2)使一元二次不等式成立的 $x$ 的取值所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集。

答案： $1.(1)ax^{2}+bx+c＞0 ax^{2}+bx+c＜0 ax^{2}+bx+c\geq0 ax^{2}+bx+c\leq0 (2)$所有未知数的值

2. 三个二次之间的关系

答案： 2.\{$x\mid x$＜x_{1},或x＞$x_{2}\$}$ \{x\mid x\neq -\frac{b}{2a}\} \{x\mid x_{1}＜x＜x_{2}\} \varnothing \varnothing$

3. 分式不等式与整式不等式
(1)$\frac{f(x)}{g(x)}＞0(＜0)\Leftrightarrow f(x)· g(x)＞0(＜0)$。
(2)$\frac{f(x)}{g(x)}\geq0(\leq0)\Leftrightarrow f(x)· g(x)\geq0(\leq0)$且 $g(x)\neq0$。

答案： *
（1）
若求$\frac{f(x)}{g(x)}＞0$的解集：
根据$\frac{f(x)}{g(x)}＞0\Leftrightarrow f(x)· g(x)＞0$，求解$f(x)· g(x)＞0$即可得到$\frac{f(x)}{g(x)}＞0$的解集。
若求$\frac{f(x)}{g(x)}＜0$的解集：
根据$\frac{f(x)}{g(x)}＜0\Leftrightarrow f(x)· g(x)＜0$，求解$f(x)· g(x)＜0$即可得到$\frac{f(x)}{g(x)}＜0$的解集。
（2）
若求$\frac{f(x)}{g(x)}\geq0$的解集：
根据$\frac{f(x)}{g(x)}\geq0\Leftrightarrow f(x)· g(x)\geq0$且$g(x)\neq0$，先求解$f(x)· g(x)\geq0$，再除去$g(x)=0$的点，得到$\frac{f(x)}{g(x)}\geq0$的解集。
若求$\frac{f(x)}{g(x)}\leq0$的解集：
根据$\frac{f(x)}{g(x)}\leq0\Leftrightarrow f(x)· g(x)\leq0$且$g(x)\neq0$，先求解$f(x)· g(x)\leq0$，再除去$g(x)=0$的点，得到$\frac{f(x)}{g(x)}\leq0$的解集。

1. (多选题)下列说法正确的是 (AB)

A.若不等式 $ax^{2}+bx + c＜0$ 的解集为 $(x_{1},x_{2})$，则必有 $a＞0$
B.若二次函数 $y = ax^{2}+bx + c$ 的图象开口向下，则不等式 $ax^{2}+bx + c＜0$ 的解集一定不是空集
C.若方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a＜0)$ 没有实数根，则不等式 $ax^{2}+bx + c＞0(a＜0)$ 的解集为 $\mathbf{R}$
D.不等式 $\frac{x - a}{x - b}\geq0$ 等价于 $(x - a)(x - b)\geq0$

答案： 1.AB

2. (链接北师必修一 P36 例 3，改编)不等式 $(x - 3)(x + 2)＞0$ 的解集是 (C)

A.$\{x\mid - 2＜x＜3\}$
B.$\{x\mid -\frac{1}{2}＜x＜\frac{1}{3}\}$
C.$\{x\mid x＞3$，或 $x＜-2\}$
D.$\{x\mid x＞\frac{1}{3}$，或 $x＜-\frac{1}{2}\}$

答案： 2.C 直接根据一元二次不等式解得x＞3，或x＜-2，则解集为$\{x\mid x＞3，或x＜-2\}.$故选C.