《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

[真题再现] (2024·新课标Ⅱ卷节选) 如图，平面四边形 $ ABCD $ 中，$ AB = 8 $，$ CD = 3 $，$ AD = 5\sqrt{3} $，$ \angle ADC = 90° $，$ \angle BAD = 30° $，点 $ E $，$ F $ 分别满足 $ \overrightarrow{AE} = \frac{2}{5} \overrightarrow{AD} $，$ \overrightarrow{AF} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} $，将 $ \triangle AEF $ 沿 $ EF $ 翻折至 $ \triangle PEF $，使得 $ PC = 4\sqrt{3} $.

证明：$ EF \perp PD $.

答案： 证明：由 $AB = 8$，$AD = 5\sqrt{3}$，$\overrightarrow{AE}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，得 $AE = 2\sqrt{3}$，$AF = 4$，又 $\angle BAD = 30^{\circ}$，在 $\triangle AEF$ 中，由余弦定理得 $EF=\sqrt{AE^2 + AF^2 - 2AE· AF\cos\angle BAD}=\sqrt{12 + 16 - 2×2\sqrt{3}×4×\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2$，
所以 $AE^2 + EF^2 = AF^2$，则 $AE\perp EF$，即 $EF\perp AD$，
所以 $EF\perp PE$，$EF\perp DE$，又 $PE\cap DE = E$，$PE$，$DE\subset$ 平面 $PDE$，所以 $EF\perp$ 平面 $PDE$，又 $PD\subset$ 平面 $PDE$，故 $EF\perp PD$。

[教材呈现] (链接北师必修二 P267T3) 如图，已知四棱锥 $ P - ABCD $ 的底面为直角梯形，$ AD // BC $，$ \angle BCD = 90° $，且 $ PA \perp AB $，$ PD \perp CD $.

(1) 判断 $ CD $ 是否与平面 $ PAD $ 垂直，证明你的结论；
(2) 证明：平面 $ PAB \perp $ 平面 $ ABCD $.
点评： 这两题考查相同的知识点，设问的本质也是一样的，都是考查直线与平面垂直的判定与性质.

答案：
(1) $CD \perp$ 平面 $PAD$. 证明：
因为底面 $ABCD$ 为直角梯形，$AD // BC$，$\angle BCD = 90°$，所以 $CD \perp AD$.
又 $PD \perp CD$，且 $AD \cap PD = D$，$AD, PD \subset$ 平面 $PAD$，
由直线与平面垂直的判定定理，得 $CD \perp$ 平面 $PAD$.
(2) 证明：
由
(1)知 $CD \perp$ 平面 $PAD$，又 $PA \subset$ 平面 $PAD$，所以 $CD \perp PA$.
已知 $PA \perp AB$，且 $AB \subset$ 平面 $ABCD$，$CD \subset$ 平面 $ABCD$，$AB$ 与 $CD$ 相交（直角梯形两腰相交），
故 $PA \perp$ 平面 $ABCD$.
因为 $PA \subset$ 平面 $PAB$，由平面与平面垂直的判定定理，得平面 $PAB \perp$ 平面 $ABCD$.

1. 直线与平面的夹角
(1) 线面角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的投影所成的锐角，取值范围：$[0,\frac{\pi}{2}]$。
(2) 垂线法求线面角(也称直接法)
① 先确定斜线与平面，找到线面的交点 $B$ 为斜足；找线在面外的一点 $A$，过点 $A$ 向平面 $\alpha$ 做垂线，确定垂足 $O$；
② 连接斜足与垂足得斜线 $AB$ 在平面 $\alpha$ 上的投影；投影 $BO$ 与斜线 $AB$ 之间的夹角为线面角；
③ 把投影 $BO$ 与斜线 $AB$ 化归到一个三角形中进行求解(可能利用余弦定理或者解直角三角形)。
(3) 公式法求线面角(也称等体积法)
用等体积法，求出斜线 $$PA$$ 在面外的一点 $P$ 到面的距离，利用直角三角形的正弦公式进行求解。
公式为：$\sin\theta=\frac{h}{l}$，其中 $\theta$ 是斜线与平面的夹角，$h$ 是垂线段的长，$l$ 是斜线段的长。

答案： PA

2. 二面角
(1) 二面角的定义
① 二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面。
② 二面角的平面角的概念：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线的夹角称为二面角的平面角。
③ 二面角的大小范围：$[0,\pi]$。
(2) 求二面角大小的一般步骤
① 作：找出这个平面角；
② 证：证明这个角是二面角的平面角；
③ 求：将作出的角放在三角形中，解这个三角形，计算出平面角的大小。

答案： 答题（如下以求两个半平面形成二面角为例进行作答，假设题目给出具体平面图形相关条件，这里假设二面角由平面$ABC$与平面$ABC$（另一半平面相关条件，实际需题目具体信息，以下为通用步骤作答）形成，由于题目未给出具体图形，我们按一般几何法步骤作答）：
设二面角$\alpha - l - \beta$（$l$为棱），
1. 作：
在棱$l$上取一点$O$，在半平面$\alpha$和$\beta$内分别作射线$OA\perp l$，$OB\perp l$，则$\angle AOB$为二面角$\alpha - l - \beta$的平面角。
2. 证：
因为$OA\perp l$，$OB\perp l$，根据二面角平面角的定义，以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所夹的角就是二面角的平面角，所以$\angle AOB$是二面角$\alpha - l - \beta$的平面角。
3. 求：
在$\triangle AOB$中，假设通过测量或其他已知条件得到$OA = a$，$OB = b$，$AB = c$（实际需根据题目所给图形信息获取边长等数据）。
根据余弦定理$\cos\angle AOB=\frac{OA^{2}+OB^{2}-AB^{2}}{2· OA· OB}=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$，
则$\angle AOB=\arccos\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$，此$\angle AOB$的大小就是二面角$\alpha - l - \beta$的大小。
最终结论：二面角的大小为$\arccos\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$（具体数值需根据题目所给图形中$a$，$b$，$c$的具体值计算得出）。