《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

(2025·广东韶关模拟)已知 $ f(x) $ 是定义在 $ \mathbf{R} $ 上且不恒为零的函数，对于任意实数 $ a,b $ 满足 $ f(ab) = af(b) + bf(a) $，若 $ f(e) = e $，则 $ f(-1) + f\left(-\dfrac{1}{e}\right) = $(A)

A.$ \dfrac{1}{e} $
B.$ -\dfrac{1}{e} $
C.$ 1 - \dfrac{1}{e} $
D.$ 1 + \dfrac{1}{e} $

答案： 典例1 A 当$a = b = 0$时，$f(0) = 0$，当$a = b = 1$时，$f(1) = 2f(1)$，可得$f(1) = 0$，则$f(0) = f(1) = 0$，当$a = b = - 1$时，$f(1) = - 2f( - 1) = 0$，则$f( - 1) = 0$，函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，令$a = - 1$，$b = x$时，$f( - 1 × x) = ( - 1)f(x) + xf( - 1)$，所以得$f( - x) = - f(x)$，所以函数是奇函数，令$a = e$，$b = \frac{1}{e}$，$f(1) = f(e · \frac{1}{e}) = ef(\frac{1}{e}) + \frac{1}{e}f(e) = 0$得$f(\frac{1}{e}) = - \frac{1}{e}$，又函数是奇函数，所以$f( - \frac{1}{e}) = \frac{1}{e}$，则$f( - 1) + f( - \frac{1}{e}) = \frac{1}{e}$.故选A.

(1)(2025·山西太原模拟)已知函数 $ f(x) $ 是定义在 $ \{x|x \neq 0\} $ 上不恒为零的函数，若 $ f(xy) = \dfrac{f(x)}{y^2} + \dfrac{f(y)}{x^2} $，则(C)
A. $ f(1) = 1 $
B. $ f(-1) = 1 $
C. $ f(x) $ 为偶函数
D. $ f(x) $ 为奇函数
(2)(2025·陕西西安模拟)已知函数 $ f(x) $ 的定义域为 $ \mathbf{R} $，且满足 $ f(x) + f(y) = f(x + y) - 2xy + 2 $，$ f(1) = 2 $，则下列结论正确的是(C)
A. $ f(4) = 12 $
B. 方程 $ f(x) = x $ 有解
C. $ f\left(x + \dfrac{1}{2}\right) $ 是偶函数
D. $ f\left(x - \dfrac{1}{2}\right) $ 是偶函数

答案： 对点练1.
(1)C
(2)C
(1)令$x = y = 1$，则$f(1) = 2f(1)$，故$f(1) = 0$，故A错误；令$x = y = - 1$，则$f(1) = 2f( - 1)$，故$f( - 1) = 0$，故B错误；令$y = - 1$，则$f( - x) = f(x) + \frac{f( - 1)}{x^{2}} = f(x)$，故$f(x)$为偶函数，故C正确；因为$f(x)$为偶函数，又函数$f(x)$是定义在$\{ x|x \neq 0\}$上不恒为零的函数，故D错误.故选C.
(2)对于A，因为函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，且满足$f(x) + f(y) = f(x + y) - 2xy + 2$，$f(1) = 2$，取$x = y = 1$，得$f(1) + f(1) = f(2) - 2 + 2$，则$f(2) = 4$，取$x = 2$，$y = 2$，得$f(2) + f(2) = f(4) - 8 + 2$，则$f(4) = 14$，故A错误；对于B，取$y = 1$，得$f(x) + f(1) = f(x + 1) - 2x + 2$，则$f(x + 1) - f(x) = 2x$，所以$f(x) - f(x - 1) = 2(x - 1)$，$f(x - 1) - f(x - 2) = 2 (x - 2)$，$·s$，$f(2) - f(1) = 2$，以上各式相加得$f(x) - f(1) = [2(x - 1) + 2] · (x - 1) = x^{2} - x$，所以$f(x) = x^{2} - x + 2$，令$f(x) = x^{2} - x + 2 = x$，得$x^{2} - 2x + 2 = 0$，此方程无解，故B错误；对于C，D，由B知$f(x) = x^{2} - x + 2$，所以$f(x + \frac{1}{2}) = (x + \frac{1}{2})^{2} - (x + \frac{1}{2}) + 2 = x^{2} + \frac{7}{4}$是偶函数，$f(x - \frac{1}{2}) = (x - \frac{1}{2})^{2} - (x - \frac{1}{2}) + 2 = x^{2} - 2x + \frac{11}{4}$不是偶函数，故C正确，D错误.故选C.

(1)(2025·湖南长沙模拟)定义在 $ \mathbf{R} $ 上的函数 $ f(x) $ 满足对任意实数 $ x,y $ 都有 $ f(x + y) = f(x) + f(y) - 1 $，若 $ x ＞ 0 $ 时，$ f(x) ＞ 1 $，则 $ f(x) $(B)

A.先单调递减后单调递增
B.在 $ \mathbf{R} $ 上单调递增
C.在 $ \mathbf{R} $ 上单调递减
D.单调性不确定

答案：
(1)B 任取$x_{1} ＜ x_{2}$，令$x = x_{2} - x_{1}$，$y = x_{1}$，则$f(x_{2}) - f(x_{1}) = f(x_{2} - x_{1} + x_{1}) - f(x_{1}) = f(x_{2} - x_{1}) + f(x_{1}) - 1 - f(x_{1}) = f(x_{2} - x_{1}) - 1$，因为$x_{2} - x_{1} ＞ 0$，所以$f(x_{2} - x_{1}) ＞ 1$，所以$f(x_{2}) - f(x_{1}) ＞ 0$，所以$f(x)$在$\mathbf{R}$上单调递增.故选B.

(2)(2025·河南新乡模拟)已知定义在 $ \mathbf{R} $ 上的函数 $ f(x) $ 满足 $ \forall x,y \in \mathbf{R} $，$ f(2xy - 1) = f(x) · f(y) + f(y) + 2x - 3 $，$ f(0) = -1 $，则不等式 $ f(x) ＞ 3 - 2^x $ 的解集为(A)

A.$ (1, +\infty) $
B.$ (-1, +\infty) $
C.$ (-\infty, 1) $
D.$ (-\infty, -1) $

答案：
(2)A 令$x = y = 0$，得$f( - 1) = f(0) · f(0) + f(0) - 3 = - 3$，令$y = 0$，得$f( - 1) = f(x)f(0) + f(0) + 2x - 3$，解得$f(x) = 2x - 1$，则不等式$f(x) ＞ 3 - 2^{x}$转化为$2x + 2^{x} - 4 ＞ 0$，因为$y = 2x + 2^{x} - 4$是增函数，且$2 × 1 + 2^{1} - 4 = 0$，所以不等式$f(x) ＞ 3 - 2^{x}$的解集为$(1, + \infty)$.故选A.