《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

[变式探究]

答案： 答题卡：
设向量$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$，作$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$，
以$OA,OB$为邻边作平行四边形$OACB$，
根据向量加法的平行四边形法则，$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$。
若求$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$，作$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$（因为$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）。
若已知$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{m},\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{n}$，
两式相加得$2\overrightarrow{a}=\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}$，则$\overrightarrow{a}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n})$；
两式相减得$2\overrightarrow{b}=\overrightarrow{m}-\overrightarrow{n}$，则$\overrightarrow{b}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{m}-\overrightarrow{n})$。
若$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$共线，设$\overrightarrow{b}=\lambda\overrightarrow{a}(\lambda\in R)$。
若$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$不共线，设$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{p}$与$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$共面，且$\overrightarrow{p}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}(x,y\in R)$。

1. (变条件)若将本例(1)中条件“$\overrightarrow{BC}=2\boldsymbol{a}+8\boldsymbol{b}$”改为“$\overrightarrow{BC}=\boldsymbol{a}+m\boldsymbol{b}$”，则$m =$7时，$A$，$B$，$D$三点共线.

答案： 1.7 $\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CD}$=($\overrightarrow{a}$+m$\overrightarrow{b}$)+3($\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$)=4$\overrightarrow{a}$+(m - 3)$\overrightarrow{b}$，若A、B、D三点共线，则存在实数λ，使$\overrightarrow{BD}$=λ$\overrightarrow{AB}$，即4$\overrightarrow{a}$+(m - 3)$\overrightarrow{b}$=λ($\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$)，所以$\begin{cases}4 = \lambda,\\m - 3 = \lambda.\end{cases}$解得m=7.故当m=7时，A、B、D三点共线.

2. (变结论)若将本例(2)中的条件“共线”改为“反向共线”，则$k =$-1.

答案： 2.-1 因为k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$反向共线，所以存在实数λ(λ＜0)，使k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=λ($\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$)，所以$\begin{cases}k = \lambda,\\1 = k\lambda.\end{cases}$所以k=±1.又λ＜0，k=λ，所以k=-1.故当k=-1时，两向量反向共线.

设$\boldsymbol{e}_{1}$，$\boldsymbol{e}_{2}$是两个不共线的向量，已知$\overrightarrow{AB}=2\boldsymbol{e}_{1}-8\boldsymbol{e}_{2}$，$\overrightarrow{CB}=\boldsymbol{e}_{1}+3\boldsymbol{e}_{2}$，$\overrightarrow{CD}=2\boldsymbol{e}_{1}-\boldsymbol{e}_{2}$.
(1) 求证：$A$，$B$，$D$三点共线；
(2) 若$\overrightarrow{BF}=3\boldsymbol{e}_{1}-k\boldsymbol{e}_{2}$，且$B$，$D$，$F$三点共线，求$k$的值.

答案： 解：
(1)证明：由已知得$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{CD}$-$\overrightarrow{CB}$=2(2$\overrightarrow{e_1}$-$\overrightarrow{e_2}$)-($\overrightarrow{e_1}$+3$\overrightarrow{e_2}$)=$\overrightarrow{e_1}$-4$\overrightarrow{e_2}$，因为$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{e_1}$-8$\overrightarrow{e_2}$，所以$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{BD}$. 又直线AB与BD有公共点B，所以A、B、D三点共线.
(2)由
(1)可知$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{e_1}$-4$\overrightarrow{e_2}$，因为$\overrightarrow{BF}$=3$\overrightarrow{e_1}$-k$\overrightarrow{e_2}$，且B、D、F三点共线，所以可设$\overrightarrow{BF}$=λ$\overrightarrow{BD}$(λ∈R)，即3$\overrightarrow{e_1}$-k$\overrightarrow{e_2}$=λ$\overrightarrow{e_1}$-4λ$\overrightarrow{e_2}$，所以$\begin{cases}\lambda = 3,\\-k = -4\lambda.\end{cases}$解得k=12.

(2022·新高考Ⅰ卷)在$\triangle ABC$中，点$D$在边$AB$上，$BD = 2DA$. 记$\overrightarrow{CA}=\boldsymbol{m}$，$\overrightarrow{CD}=\boldsymbol{n}$，则$\overrightarrow{CB}=$(B)

A.$3\boldsymbol{m}-2\boldsymbol{n}$
B.$-2\boldsymbol{m}+3\boldsymbol{n}$
C.$3\boldsymbol{m}+2\boldsymbol{n}$
D.$2\boldsymbol{m}+3\boldsymbol{n}$

答案： B $\overrightarrow{CD}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CB}$，$\overrightarrow{CB}$=3$\overrightarrow{CD}$-2$\overrightarrow{CA}$=-2m+3n.

(北师必修二 P136T2(7))设点$D$为$\triangle ABC$所在平面内一点，$\overrightarrow{BC}=3\overrightarrow{CD}$，则()

A.$\overrightarrow{AD}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{4}{3}\overrightarrow{AC}$
B.$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{4}{3}\overrightarrow{AC}$
C.$\overrightarrow{AD}=\frac{4}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$
D.$\overrightarrow{AD}=\frac{4}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

答案： A

1. 平面向量基本定理
续表

|正交基
正交分解及标准正交基|(1)若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为正交基.
(2)在正交基下向量的线性表示称为正交分解.
(3)若基中的两个向量是互相垂直的单位向量，则称这组基为标准正交基|
|----|----|

答案： 1.不共线 $\boldsymbol {a} = \lambda_1 \boldsymbol {e}_1 + \lambda_2 \boldsymbol {e}_2$ $\{ \boldsymbol {e}_1, \boldsymbol {e}_2 \}$
(1)正交基
(2)正交分解
(3)标准正交基