《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

(1) 求证：$ SD \perp $ 平面 $ ABC $；

答案： 证明：（1）如图所示，取 $AB$ 的中点 $E$，连接 $SE$，$DE$。
在 $Rt\triangle ABC$ 中，因为 $D$，$E$ 分别为 $AC$，$AB$ 的中点，所以 $DE// BC$，所以 $DE\perp AB$。
因为 $SA = SB$，$E$ 是 $AB$ 的中点，所以 $SE\perp AB$。
又 $SE\cap DE = E$，$SE$，$DE\subset$ 平面 $SDE$，所以 $AB\perp$ 平面 $SDE$；
又 $SD\subset$ 平面 $SDE$，所以 $AB\perp SD$。在 $\triangle SAC$ 中，$SA = SC$，$D$ 为 $AC$ 的中点，所以 $SD\perp AC$。
又 $AC\cap AB = A$，$AC$，$AB\subset$ 平面 $ABC$，所以 $SD\perp$ 平面 $ABC$；

(2) 若 $ AB = BC $，求证：$ BD \perp $ 平面 $ SAC $.

答案：
（2）由于 $AB = BC$，$D$ 是 $AC$ 的中点，则 $BD\perp AC$；
由（1）可知，$SD\perp$ 平面 $ABC$，又 $BD\subset$ 平面 $ABC$，所以 $SD\perp BD$。
又 $SD\cap AC = D$，$SD$，$AC\subset$ 平面 $SAC$，所以 $BD\perp$ 平面 $SAC$。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(1) 求三棱锥 $ F - EBC $ 的体积；

答案： （1）在直三棱柱 $ABC - A_1B_1C_1$ 中，因为侧面 $AA_1B_1B$ 为正方形，所以 $BB_1\perp A_1B_1$。又因为 $BF\perp A_1B_1$，且 $BF\cap BB_1 = B$，所以 $A_1B_1\perp$ 侧面 $B_1C_1CB$。因为 $A_1B_1// AB$，所以 $AB\perp$ 侧面 $B_1C_1CB$。又 $BC\subset$ 侧面 $B_1C_1CB$，所以 $AB\perp BC$；因为 $E$，$F$ 分别为 $AC$，$CC_1$ 的中点，所以 $CF = 1$，且 $S_{\triangle BEC}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}× AB· BC=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×2×2 = 1$。
所以三棱锥 $F - EBC$ 的体积 $V=\frac{1}{3}S_{\triangle BEC}· CF=\frac{1}{3}×1×1=\frac{1}{3}$。

证明：

答案： 答案略

(1) $ CD \perp AE $；

答案： （1）在四棱锥 $P - ABCD$ 中，因为 $PA\perp$ 底面 $ABCD$，$CD\subset$ 平面 $ABCD$，所以 $PA\perp CD$，又因为 $AC\perp CD$，且 $PA\cap AC = A$，$PA$，$AC\subset$ 平面 $PAC$，所以 $CD\perp$ 平面 $PAC$。又 $AE\subset$ 平面 $PAC$，所以 $CD\perp AE$。

(2) $ PD \perp $ 平面 $ ABE $.

答案： （2）由 $PA = AB = BC$，$\angle ABC = 60^{\circ}$，可得 $AC = PA$。因为 $E$ 是 $PC$ 的中点，所以 $AE\perp PC$。
由（1）知 $AE\perp CD$，且 $PC\cap CD = C$，$PC$，$CD\subset$ 平面 $PCD$，所以 $AE\perp$ 平面 $PCD$。又 $PD\subset$ 平面 $PCD$，所以 $AE\perp PD$。
因为 $PA\perp$ 底面 $ABCD$，$AB\subset$ 平面 $ABCD$，所以 $PA\perp AB$。
又因为 $AB\perp AD$，且 $PA\cap AD = A$，所以 $AB\perp$ 平面 $PAD$，又 $PD\subset$ 平面 $PAD$，所以 $AB\perp PD$。
又因为 $AB\cap AE = A$，$AB$，$AE\subset$ 平面 $ABE$，所以 $PD\perp$ 平面 $ABE$。

证明：平面 $ PAB \perp $ 平面 $ PAC $.

答案： 证明：因为 $D$ 为圆锥顶点，$O$ 为底面圆心，所以 $OD\perp$ 平面 $ABC$，因为 $P$ 在 $DO$ 上，$OA = OB = OC$，所以 $PA = PB = PC$，
因为 $\triangle ABC$ 是圆内接正三角形，所以 $AC = BC$，$\triangle PAC\cong\triangle PBC$，
所以 $\angle APC=\angle BPC = 90^{\circ}$，即 $PB\perp PC$，$PA\perp PC$，
又 $PA\cap PB = P$，$PA$，$PB\subset$ 平面 $PAB$，
所以 $PC\perp$ 平面 $PAB$，$PC\subset$ 平面 $PAC$，所以平面 $PAB\perp$ 平面 $PAC$；