《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

对点练 1 (1)已知 $a = 1.6^{0.3}$，$b = 1.6^{0.8}$，$c = 0.7^{0.8}$，则 (A)

A.$c ＜ a ＜ b$
B.$a ＜ b ＜ c$
C.$b ＞ c ＞ a$
D.$a ＞ b ＞ c$

答案：
(1)因为$y = 1.6^{x}$在R上单调递增，所以$a = 1.6^{0.3} ＜ b = 1.6^{0.8}$，而$1.6^{0.3} ＞ 1 ＞ c = 0.7^{0.8}$，故$c ＜ a ＜ b$。故选A。

(2)设 $a = \log_23$，$b = \log_35$，$c = \log_58$，则 (B)

A.$b ＜ a ＜ c$
B.$c ＜ b ＜ a$
C.$a ＜ c ＜ b$
D.$c ＜ a ＜ b$

答案：
(2)因为$2\log_{2}3 = \log_{2}9 ＞ \log_{2}8 = 3$，所以$\log_{2}3 ＞ \frac{3}{2}$，又因为$2\log_{3}5 = \log_{3}25 ＜ \log_{3}27 = 3$，所以$\log_{3}5 ＜ \frac{3}{2}$，故$a ＞ b$。因为$3\log_{3}5 = \log_{3}125 ＞ \log_{3}81 = 4$，所以$\log_{3}5 ＞ \frac{4}{3}$，又因为$3\log_{5}8 = \log_{5}512 ＜ \log_{5}625 = 4$，所以$\log_{5}8 ＜ \frac{4}{3}$，故$b ＞ c$。综上，$c ＜ b ＜ a$。故选B。

典例 4 (1)(2025·陕西渭南模拟)已知定义域为 $\mathbf{R}$ 的函数 $f(x)$ 为偶函数，且 $f(x)$ 在区间 $[0,+\infty)$ 上单调递减，则下列选项正确的是 (A)

A.$f\left(\frac{3}{2}\right) ＜ f(\log_{\frac{1}{3}}4) ＜ f(\log_45)$
B.$f\left(\frac{3}{2}\right) ＜ f(\log_45) ＜ f(\log_{\frac{1}{3}}4)$
C.$f(\log_{\frac{1}{3}}4) ＜ f(\log_45) ＜ f\left(\frac{3}{2}\right)$
D.$f(\log_45) ＜ f(\log_{\frac{1}{3}}4) ＜ f\left(\frac{3}{2}\right)$

答案：
(1)因为$f(x)$是定义在R上的偶函数，$\log_{\frac{1}{3}}4 = -\log_{3}4$，所以$f(\log_{\frac{1}{3}}4) = f(-\log_{3}4) = f(\log_{3}4)$。因为$\ln3·\ln5 ＜ (\frac{\ln3 + \ln5}{2})^{2} = (\frac{\ln15}{2})^{2} ＜ (\frac{\ln16}{2})^{2} = \ln^{2}4$，所以$\frac{\ln4}{\ln3} ＞ \frac{\ln5}{\ln4}$，即$\log_{3}4 ＞ \log_{5}4$，又$\frac{3}{2} = \log_{3}3^{\frac{3}{2}} = \log_{3}\sqrt{27} ＞ \log_{3}\sqrt{16} = \log_{3}4$，所以$\frac{3}{2} ＞ \log_{3}4 ＞ \log_{5}4$，又$f(x)$在区间$[0, +\infty)$上单调递减，所以$f(\frac{3}{2}) ＜ f(\log_{3}4) ＜ f(\log_{5}4)$，即$f(\frac{3}{2}) ＜ f(\log_{\frac{1}{3}}4) ＜ f(\log_{5}4)$。故选A。

(2)(2025·河南郑州模拟)已知 $a = \log_63$，$b = \log_84$，$c = \lg5$，则 (D)

A.$b ＜ a ＜ c$
B.$c ＜ b ＜ a$
C.$a ＜ c ＜ b$
D.$a ＜ b ＜ c$

答案：
(2)由题意得，$a = \log_{6}3 = \log_{6}\frac{6}{2} = 1 - \log_{6}2 = 1 - \frac{1}{\log_{2}6}$，$b = \log_{8}4 = \log_{8}\frac{8}{2} = 1 - \log_{8}2 = 1 - \frac{1}{\log_{2}8}$，$c = \lg5 = \lg\frac{10}{2} = 1 - \lg2 = 1 - \frac{1}{\log_{2}10}$，因为函数$y = \log_{2}x$在$(0, +\infty)$上单调递增，所以$0 ＜ \log_{2}6 ＜ \log_{2}8 ＜ \log_{2}10$，则$\frac{1}{\log_{2}6} ＞ \frac{1}{\log_{2}8} ＞ \frac{1}{\log_{2}10}$，所以$a ＜ b ＜ c$。故选D。

对点练 2 设 $a = \log_62$，$b = \log_{12}3$，$c = \log_{40}5$，则 (A)

A.$a ＜ b ＜ c$
B.$b ＜ a ＜ c$
C.$c ＜ a ＜ b$
D.$a ＜ c ＜ b$

答案： 因为$\frac{1}{b} = \log_{2}12 = 1 + \log_{2}6 = 1 + 2\log_{2}3$，$\frac{1}{c} = \log_{5}40 = 1 + \log_{5}8 = 1 + 3\log_{5}2$，所以$\frac{1}{b} - \frac{1}{c} = 2\log_{2}3 - 3\log_{5}2 = \frac{2\lg3}{\lg2} - \frac{3\lg2}{\lg5} = \frac{2\lg3·\lg5 - 3\lg^{2}2}{\lg2·\lg5} = \frac{\lg3·\lg25 - \lg8·\lg2}{\lg2·\lg5} ＜ 0$，所以$\frac{1}{b} ＜ \frac{1}{c}$，又$b ＞ 0$，$c ＞ 0$，所以$b ＞ c$；因为$\frac{1}{c} = 1 + \log_{5}8 ＜ 1 + \log_{5}\sqrt{125} = 1 + \log_{5}5^{\frac{3}{2}} = \frac{5}{2}$，所以$c ＞ \frac{2}{5}$，因为$\frac{1}{a} = \log_{2}6 = 1 + \log_{2}3 ＞ 1 + \log_{2}\sqrt{8} = 1 + \log_{2}2^{\frac{3}{2}} = \frac{5}{2}$，所以$a ＜ \frac{2}{5}$，所以$a ＜ c$。综上，$a ＜ c ＜ b$。故选A。

典例 5 (1)若 $2^a + \log_2a = 4^b + 2\log_4b$，则 (B)

A.$a ＞ 2b$
B.$a ＜ 2b$
C.$a ＞ b^2$
D.$a ＜ b^2$

答案：
(1)因为$2^{a} + \log_{2}a = 4^{b} + 2\log_{4}b = 2^{2b} + \log_{2}b ＜ 2^{2b} + \log_{2}2b = 2^{2b} + \log_{2}b + 1$，所以$2^{a} + \log_{2}a ＜ 2^{2b} + \log_{2}2b$，令$f(x) = 2^{x} + \log_{2}x$，由指、对数函数的单调性可得$f(x)$在$(0, +\infty)$上单调递增，且$f(a) ＜ f(2b)\Rightarrow a ＜ 2b$。故选B。

(2)设 $x$，$y$，$z$ 为正实数，且 $\log_2x = \log_3y = \log_5z ＞ 1$，则 $\frac{x}{2}$，$\frac{y}{3}$，$\frac{z}{5}$ 的大小关系是 (B)

A.$\frac{z}{5} ＜ \frac{y}{3} ＜ \frac{x}{2}$
B.$\frac{x}{2} ＜ \frac{y}{3} ＜ \frac{z}{5}$
C.$\frac{y}{3} ＜ \frac{x}{2} ＜ \frac{z}{5}$
D.$\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5}$

答案：
(2)由$x,y,z$为正实数，设$\log_{2}x = \log_{3}y = \log_{5}z = k ＞ 1$，可得$x = 2^{k} ＞ 2$，$y = 3^{k} ＞ 3$，$z = 5^{k} ＞ 5$。所以$\frac{x}{2} = 2^{k - 1} ＞ 1$，$\frac{y}{3} = 3^{k - 1} ＞ 1$，$\frac{z}{5} = 5^{k - 1} ＞ 1$，令$f(x) = x^{k - 1}$，因为$f(x)$在$(0, +\infty)$上单调递增，所以$f(2) ＜ f(3) ＜ f(5)$，即$\frac{x}{2} ＜ \frac{y}{3} ＜ \frac{z}{5}$。故选B。

对点练 3 (1)设正实数 $a$，$b$，$c$ 分别满足 $a·2^a = b·\log_3b = c·\log_2c = 1$，则 $a$，$b$，$c$ 的大小关系为(B)

A.$a ＞ b ＞ c$
B.$b ＞ c ＞ a$
C.$c ＞ b ＞ a$
D.$a ＞ c ＞ b$

答案：

(1)由已知可得$\frac{1}{a} = 2^{a}$，$\frac{1}{b} = \log_{3}b$，$\frac{1}{c} = \log_{2}c$，作出$y = 2^{x}$，$y = \log_{3}x$，$y = \log_{2}x$的图象如图所示，则它们与$y = \frac{1}{x}$的图象交点的横坐标分别为$a,b,c$，

由图象可得$b ＞ c ＞ a$。故选B。

(2)若实数 $x$，$y$ 满足 $2025^x - 2025^y ＜ 2024^{-x} - 2024^{-y}$，则 (A)

A.$\ln(y - x + 1) ＞ 0$
B.$\ln(y - x + 1) ＜ 0$
C.$\ln|x - y| ＞ 0$
D.$\ln|x - y| ＜ 0$
请完成课时测评 16

答案：
(2)因为$2025^{x} - 2025^{y} ＜ 2024^{- x} - 2024^{- y}$，所以$2025^{x} - 2024^{- x} ＜ 2025^{y} - 2024^{- y}$，令$f(t) = 2025^{t} - 2024^{- t}$，则$f(x) ＜ f(y)$。因为$f(t) = 2025^{t} - 2024^{- t}$在R上单调递增，所以$x ＜ y$。对于A，B，因为$x ＜ y$，所以$y - x + 1 ＞ 1$，所以$\ln(y - x + 1) ＞ 0$，故A正确，B错误；对于C，D，因为$x ＜ y$，所以$|x - y| ＞ 0$，所以当$0 ＜ |x - y| ＜ 1$时，$\ln|x - y| ＜ 0$，当$|x - y| = 1$时，$\ln|x - y| = 0$，当$|x - y| ＞ 1$时，$\ln|x - y| ＞ 0$，故C、D错误。故选A。