《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

2. 正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中 $ k \in \mathbf{Z} $)

答案： 定义域
$\{x|x\in\mathbf{R} 且 x\neq k\pi+\frac{\pi}{2},k\in\mathbf{Z}\}$
值域
$[-1,1]$；$[-1,1]$；$\mathbf{R}$
周期性
$2\pi$；$\pi$
奇偶性
奇函数；偶函数
单调递增区间
$[2k\pi-\frac{\pi}{2},2k\pi+\frac{\pi}{2}](k\in\mathbf{Z})$；$[2k\pi-\pi,2k\pi](k\in\mathbf{Z})$
单调递减区间
$[2k\pi+\frac{\pi}{2},2k\pi+\frac{3\pi}{2}](k\in\mathbf{Z})$；$[2k\pi,2k\pi+\pi](k\in\mathbf{Z})$
对称中心
$(k\pi,0)(k\in\mathbf{Z})$；$(k\pi+\frac{\pi}{2},0)(k\in\mathbf{Z})$；$(\frac{k\pi}{2},0)(k\in\mathbf{Z})$
对称轴方程
$x=k\pi+\frac{\pi}{2}(k\in\mathbf{Z})$；$x=k\pi(k\in\mathbf{Z})$

1. (多选题)下列命题是假命题的是()
A. 余弦函数 $ y = \cos x $ 的对称轴是 $ y $ 轴
B. 正切函数 $ y = \tan x $ 在定义域内是增函数
C. 已知 $ y = k\sin x + 1 $，$ x \in \mathbf{R} $，则 $ y $ 的最大值为 $ k + 1 $
D. $ y = \sin |x| $ 是偶函数
2. (链接北师必修二 P65A 组 T4，改编)函数 $ y = 2\tan\left(3x + \dfrac{\pi}{6}\right) $ 的定义域是()
A. $ \left\{x \mid x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbf{Z}\right\} $
B. $ \left\{x \mid x \neq \dfrac{\pi}{12} + k\pi, k \in \mathbf{Z}\right\} $
C. $ \left\{x \mid x \neq \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{k\pi}{3}, k \in \mathbf{Z}\right\} $
D. $ \left\{x \mid x \neq \dfrac{\pi}{9} + \dfrac{k\pi}{3}, k \in \mathbf{Z}\right\} $
3. (链接北师必修二 P31 例 2，改编)函数 $ y = \sin\left(x + \dfrac{\pi}{6}\right) $ 的单调递增区间为.
4. (双空题)(链接北师必修二 P73A 组 T7，改编)函数 $ y = 3 - 2\cos\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) $ 的最大值为，此时 $ x = $.

答案： 1. ABC
2. D
3. $\left[-\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi,\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\right](k\in\mathbf{Z})$
4. 5；$\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi(k\in\mathbf{Z})$

1. (2025·山东日照模拟)函数 $ y = \sqrt{2\sin x - 1} $ ($ 0 \leq x \leq 2\pi $)的定义域为(C)

A.$\left[\dfrac{\pi}{3},\dfrac{5\pi}{6}\right]$
B.$\left[\dfrac{\pi}{3},\dfrac{2\pi}{3}\right]$
C.$\left[\dfrac{\pi}{6},\dfrac{5\pi}{6}\right]$
D.$\left[\dfrac{\pi}{6},\dfrac{2\pi}{3}\right]$

答案： 1.C 由题意可得$2\sin x - 1 \geq 0$，即$\sin x \geq \frac{1}{2}$，又$0 \leq x \leq 2\pi$，故$x \in \left[ \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} \right]$，即定义域为$\left[ \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} \right]$。故选C。

2. 函数 $ f(x) = \ln(\cos x) $的定义域为(C)

A.$\left(k\pi - \dfrac{\pi}{2},k\pi + \dfrac{\pi}{2}\right),k \in \mathbf{Z}$
B.$(k\pi,k\pi + \pi),k \in \mathbf{Z}$
C.$\left(2k\pi - \dfrac{\pi}{2},2k\pi + \dfrac{\pi}{2}\right),k \in \mathbf{Z}$
D.$(2k\pi,2k\pi + \pi),k \in \mathbf{Z}$

答案： 2.C 由题意知$\cos x ＞ 0$，所以$2k\pi - \frac{\pi}{2} ＜ x ＜ 2k\pi + \frac{\pi}{2}$，$k \in \mathbb{Z}$，所以函数$f(x)$的定义域为$\left( 2k\pi - \frac{\pi}{2}, 2k\pi + \frac{\pi}{2} \right)$，$k \in \mathbb{Z}$。故选C。