《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

4. (链接北师必修一 P23B 组 T1，改编) “$ m ＜ \dfrac{1}{4} $”是“一元二次方程 $ x^{2} + x + m = 0 $ 有实数解”的充分不必要条件. (选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)

答案： 4.充分不必要 若一元二次方程$x^{2}+x+m=0$有实数解，则$\Delta=1 - 4m\geqslant0$，解得$m\leqslant\frac{1}{4}$，因为$\{m\mid m＜\frac{1}{4}\}\subsetneqq\{m\mid m\leqslant\frac{1}{4}\}$，所以“$m＜\frac{1}{4}$”是“一元二次方程$x^{2}+x+m=0$有实数解”的充分不必要条件.

1. (2024·天津卷) 设 $ a $，$ b \in \mathbf{R} $，则“$ a^{3} = b^{3} $”是“$ 3^{a} = 3^{b} $”的(C)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 1.C 由函数$y = x^{3}$单调递增可知，若$a^{3}=b^{3}$，则$a = b$；由函数$y = 3^{x}$单调递增可知，若$3^{a}=3^{b}$，则$a = b$.故“$a^{3}=b^{3}$”是“$3^{a}=3^{b}$”的充要条件.故选C.

2. (2024·全国甲卷理) 设向量 $ \boldsymbol{a} = (x + 1,x) $，$ \boldsymbol{b} = (x,2) $，则(C)

A.$ x = - 3 $ 是 $ \boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b} $ 的必要条件
B.$ x = - 3 $ 是 $ \boldsymbol{a} // \boldsymbol{b} $ 的必要条件
C.$ x = 0 $ 是 $ \boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b} $ 的充分条件
D.$ x = - 1 + \sqrt{3} $ 是 $ \boldsymbol{a} // \boldsymbol{b} $ 的充分条件

答案： 2.C $a\perp b\Leftrightarrow x^{2}+x + 2x=0\Leftrightarrow x = 0$或$x=-3$，所以$x = - 3$是$a\perp b$的充分条件，$x = 0$是$a\perp b$的充分条件，故A错误，C正确.$a// b\Leftrightarrow2x + 2x^{2}\Leftrightarrow x^{2}-2x - 2=0\Leftrightarrow x = 1\pm\sqrt{3}$.故B、D错误.故选C.

3. (多选题) (2025·广西北海期末) 下列说法正确的是(BD)

A.“$ \dfrac{1}{a} ＞ \dfrac{1}{b} $”是“$ a ＞ b $”的充分不必要条件
B.“$ A = \varnothing $”是“$ A \cap B = \varnothing $”的充分不必要条件
C.若 $ a $，$ b $，$ c \in \mathbf{R} $，则“$ ab^{2} ＞ cb^{2} $”的充要条件是“$ a ＞ c $”
D.若 $ a $，$ b \in \mathbf{R} $，则“$ a^{2} + b^{2} \neq 0 $”是“$ |a| + |b| \neq 0 $”的充要条件

答案： 3.BD 对于A，当$a = 2$，$b = 3$时，$\frac{1}{a}＞\frac{1}{b}$，$a＜b$；当$a=-1$，$b=-2$时，$a＞b$，$\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}$，所以两者既不充分也不必要，故A错误；对于B，当$A\cap B=\varnothing$时，可取$A=\{1\}$，$B=\{2\}$，但$A\neq\varnothing$；当$A=\varnothing$时，$A\cap B=\varnothing$，故B正确；对于C，当$ab^{2}＞cb^{2}$时，$b^{2}＞0$，从而$a＞c$，反之，$a＞c$时，若$b = 0$，则$ab^{2}=cb^{2}$，所以两者不是充要条件，故C错误；对于D，$a^{2}+b^{2}\neq0\Leftrightarrow a\neq0$或$b\neq0\Leftrightarrow|a|+|b|\neq0$，故D正确.故选BD.

[变式探究]

答案： 答案略

1. (变条件) 条件“若 $ x \in P $ 是 $ x \in S $ 的必要条件”变为“$ \neg P $ 是 $ \neg S $ 的必要不充分条件”，其他条件不变，则实数 $ m $ 的取值范围为[9,+∞).

答案： 1.$[9,+\infty)$ 由例题知$P=\{x\mid - 2\leqslant x\leqslant10\}$.因为$\neg P$是$\neg S$的必要不充分条件，所以$P$是$S$的充分不必要条件，所以$P\Rightarrow S$且$S\nRightarrow P$，所以$[-2,10]\subseteq[1 - m,1 + m]$，所以$\begin{cases}1 - m\leqslant - 2,\\1 + m＞10\end{cases}$或$\begin{cases}1 - m＜-2,\\1 + m\geqslant10.\end{cases}$所以$m\geqslant9$，则$m$的取值范围是$[9,+\infty)$.

2. (变设问) 条件不变，问是否存在实数 $ m $，使 $ x \in P $ 是 $ x \in S $ 的充要条件？并说明理由.

答案： 2.解：不存在，理由如下.由例题知$P=\{x\mid - 2\leqslant x\leqslant10\}$.若$x\in P$是$x\in S$的充要条件，则$P = S$，所以$\begin{cases}1 - m=-2,\\1 + m = 10,\end{cases}$所以$\begin{cases}m = 3,\\m = 9.\end{cases}$这样的$m$不存在.

(多选题) “关于 $ x $ 的不等式 $ ax^{2} - 4ax + 4 ＞ 0 $ 对 $ \forall x \in \mathbf{R} $ 恒成立”的一个充分不必要条件是(AB)

A.$ 0 ＜ a ＜ \dfrac{1}{3} $
B.$ 0 ＜ a ＜ 1 $
C.$ 0 \leqslant a ＜ 1 $
D.$ a \geqslant 0 $

答案： 对点练1.AB 当$a = 0$时，$4＞0$对$\forall x\in\mathbf{R}$恒成立，符合题意；当$a\neq0$时，$\begin{cases}a＞0,\\-4a)^{2}-4×4a＜0.\end{cases}$解得$0＜a＜1$，所以$0＜a＜1$.综上，$0\leqslant a＜1$，所以“$0＜a＜\frac{1}{3}$”是“关于$x$的不等式$ax^{2}-4ax + 4＞0$对$\forall x\in\mathbf{R}$恒成立”的充分不必要条件，故A正确；“$0＜a＜1$”是“关于$x$的不等式$ax^{2}-4ax + 4＞0$对$\forall x\in\mathbf{R}$恒成立”的充分不必要条件，故B正确；“$0\leqslant a＜1$”是“关于$x$的不等式$ax^{2}-4ax + 4＞0$对$\forall x\in\mathbf{R}$恒成立”的必要条件，故C错误；“$a\geqslant0$”是“关于$x$的不等式$ax^{2}-4ax + 4＞0$对$\forall x\in\mathbf{R}$恒成立”的必要不充分条件，故D错误.故选AB.