《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

2. (链接北师选择性必修一 P39T5)过点$(2, 2)$作圆$(x - 1)^2 + y^2 = 5$的切线，则切线方程为(C)

A.$x - 2y + 2 = 0$
B.$3x + 2y - 10 = 0$
C.$x + 2y - 6 = 0$
D.$x = 2$或$x + 2y - 6 = 0$

答案： 2.C 将点(2,2)代入(x - 1)² + y² = 5，有(2 - 1)² + 2² = 5成立，即点(2,2)在圆上，由结论1
(2)知，过圆(x - 1)² + y² = 5上点(2,2)的切线的方程为(x - 1)(2 - 1)+2y = 5，即x + 2y - 6 = 0。故选C。

3. (链接北师选择性必修一 P38 例 9)圆$C_1$：$x^2 + y^2 = 4$与圆$C_2$：$x^2 + y^2 - 8x - 6y + 16 = 0$的位置关系是(A)

A.外切
B.相交
C.外离
D.内切

答案： 3.A 圆C₁的圆心C₁(0,0)，半径r₁ = 2，圆C₂可化为(x - 4)² + (y - 3)² = 9，所以圆心C₂(4,3)，半径r₂ = 3，所以|C₁C₂| = √[(4 - 0)² + (3 - 0)²] = 5 = r₁ + r₂，故两圆外切。故选A。

4. (链接北师选择性必修一 P39T9)直线$x - y + 1 = 0$与圆$(x - a)^2 + y^2 = 2$有公共点，则实数$a$的取值范围是[-3,1].

答案： 4.[-3,1] 由题意可得，圆(x - a)² + y² = 2的圆心为(a,0)，半径为√2，所以$\frac{|a - 0 + 1|}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}} \leq \sqrt{2}，$即|a + 1|$ \leq 2，$解得$-3 \leq a \leq 1。$所以实数a的取值范围是[-3,1]。

1. (一题多解)直线$l$：$mx - y + 1 - m = 0$与圆$C$：$x^2 + (y - 1)^2 = 5$的位置关系是(A)

A.相交
B.相切
C.相离
D.不确定

答案： 1.A 法一(代数法)：由$\begin{cases}mx - y + 1 - m = 0, \\x^{2}+(y - 1)^{2}=5,\end{cases}$消去y，整理得(1 + m²)x² - 2m²x + m² - 5 = 0，因为Δ = 16m² + 20 ＞ 0，所以直线l与圆相交。故选A。
法二(几何法)：由题意知，圆心(0,1)到直线l的距离为$d = \frac{|m|}{\sqrt{m^{2}+1}} ＜ 1 ＜ √5 = r，$所以直线l与圆相交，故选A。
法三(定点法)：直线l：mx - y + 1 - m = 0，整理得m(x - 1) - y + 1 = 0过(1,1)，而1² + (1 - 1)² ＜ 5，即(1,1)在圆内，所以直线l与圆相交。故选A。

2. (2025·广东深圳质检)已知直线$l$：$x\cos \alpha + y\sin \alpha = 1$($\alpha \in \mathbf{R}$)与圆$C$：$x^2 + y^2 = r^2$($r ＞ 0$)相离，则$r$的取值范围是(B)

A.$0 ＜ r \leq 1$
B.$0 ＜ r ＜ 1$
C.$r \geq 1$
D.$r ＞ 1$

答案： 2.B 圆心到直线的距离为$d = \frac{1}{\sqrt{\cos^{2}a+\sin^{2}a}} = 1，$故0 ＜ r ＜ 1。故选B。

3. (多选题)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直线$l$：$ax + by - r^2 = 0$($r ＞ 0$)与圆$C$：$x^2 + y^2 = r^2$，点$A(a, b)$，则下列说法正确的是(ABD)

A.若点$A$在圆$C$上，则直线$l$与圆$C$相切
B.若点$A$在圆$C$内，则直线$l$与圆$C$相离
C.若点$A$在圆$C$外，则直线$l$与圆$C$相离
D.若点$A$在直线$l$上，则直线$l$与圆$C$相切

答案： 3.ABD 对于A，若点A(a,b)在圆C上，则a² + b² = r²，所以圆心C(0,0)到直线l的距离$d = \frac{r^{2}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} = r，$所以直线l与圆C相切，故A正确；
对于B，若点A(a,b)在圆C内，则a² + b² ＜ r²，所以圆心C(0,0)到直线l的距离d = \frac{r^{2}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} ＞ r，所以直线l与圆C相离，故B正确；对于C，若点A(a,b)在圆C外，则a² + b² ＞ r²，所以圆心C(0,0)到直线l的距离$d = \frac{r^{2}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} ＜ r，$所以直线l与圆C相交，故C不正确；对于D，因为点A在直线l上，所以a² + b² = r²，圆心C(0,0)到直线l的距离$d = \frac{r^{2}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} = r，$所以直线l与圆C相切，故D正确。故选ABD。

4. 已知圆$C$：$x^2 + y^2 - 2x - 4y + 1 = 0$上恰有$3$点到直线$x - y + m = 0$的距离等于$1$，则$m =$1±√2.

答案： 4.1±√2 圆C：(x - 1)² + (y - 2)² = 4的圆心C(1,2)，半径r = 2，由圆C上恰有3点到直线x - y + m = 0的距离等于1，得圆心C到直线x - y + m = 0的距离等于1，于是$\frac{|1 - 2 + m|}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}} = 1，$解得m = 1±√2，所以m = 1±√2。

(2) 已知过点$P(0, 1)$的直线$l$与圆$x^2 + y^2 + 2x - 6y + 6 = 0$相交于$A$，$B$两点，则当$|AB| = 2\sqrt{3}$时，直线$l$的方程为x = 0或3x + 4y - 4 = 0.

答案：
(2)x = 0或3x + 4y - 4 = 0

(3) (2024·全国甲卷)已知$b$是$a$，$c$的等差中项，直线$ax + by + c = 0$与圆$x^2 + y^2 + 4y - 1 = 0$交于$A$，$B$两点，则$|AB|$的最小值为(C)

A.$1$
B.$2$
C.$4$
D.$2\sqrt{5}$

答案：
(3)C

典例 2 (1) 过点$P(2, 4)$作圆$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1$的切线，则切线方程为(C)

A.$3x + 4y - 4 = 0$
B.$4x - 3y + 4 = 0$
C.$x = 2$或$4x - 3y + 4 = 0$
D.$y = 4$或$3x + 4y - 4 = 0$

答案：
(1)C

(2) (2021·天津卷)若斜率为$\sqrt{3}$的直线与$y$轴交于点$A$，与圆$x^2 + (y - 1)^2 = 1$相切于点$B$，则$|AB| =$√3.

答案：
(2)√3

典例 3 (1) (2023·全国乙卷)已知$\odot O$的半径为$1$，直线$PA$与$\odot O$相切于点$A$，直线$PB$与$\odot O$交于$B$，$C$两点，$D$为$BC$的中点，若$|PO| = \sqrt{2}$，则$\overrightarrow{PA} · \overrightarrow{PD}$的最大值为(A)

A.$\frac{1 + \sqrt{2}}{2}$
B.$\frac{1 + 2\sqrt{2}}{2}$
C.$1 + \sqrt{2}$
D.$2 + \sqrt{2}$

答案：
(1)A