《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

3. (多选题)已知$a,b \in \mathbf{R}$，则下列不等式成立的是(BD)

A.$\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$
B.$\frac{a + b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$
C.$\frac{2ab}{a + b} \leq \frac{a + b}{2}$
D.$ab \leq \frac{a^2 + b^2}{2}$
[规律方法] 在利用基本不等式或其变形时，注意不等式成立及等号成立的条件；另注意特殊值的应用。

答案： 3.BD 对于 A，由选项可知 a 与 b 同号，当 a＞0 且 b＞0 时，由基本不等式可知$ \frac{a + b}{2}\geqslant\sqrt{ab}$恒成立，当 a＜0 且 b＜0 时，\frac{a + b}{2}＜0，\sqrt{ab}＞0，该不等式不成立，故 A 错误；对于 B，当 a + b＞0 时，$\frac{a + b}{2}＞0，$则$ (\frac{a + b}{2})^2=\frac{a^{2}+b^{2}+2ab - 2a^2 - 2b^2}{4}=-\frac{(a - b)^2}{4}\leqslant0 $恒成立，即$ \frac{a + b}{2}\leqslant\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}$恒成立，当$ a + b\leqslant0 $时，原不等式恒成立，故 B 正确；对于 C，当 a + b＞0 时，$2ab - \frac{(a + b)^{2}}{2}=\frac{-(a - b)^{2}}{2}\leqslant0，$即$ 2ab\leqslant\frac{(a + b)^{2}}{2}，$$\frac{2ab}{a + b}\leqslant\frac{a + b}{2}$恒成立，当 a + b＜0 时，$2ab - \frac{(a + b)^{2}}{2}=\frac{-(a - b)^{2}}{2}\leqslant0，$即$ \frac{2ab}{a + b}\geqslant\frac{a + b}{2}，$故 C 错误；对于 D，由重要不等式可知，a，$b\in\mathbf{R}，$$ab\leqslant\frac{a^{2}+b^{2}}{2}$恒成立，故 D 正确.故选 BD.

典例 1 (1)(2025·湖南衡阳期末)函数$y = \frac{16}{x - 2} + x(x ＞ 2)$的最小值为(C)

A.$8$
B.$9$
C.$10$
D.$11$

答案：
(1)C 由 x＞2，则 x - 2＞0，则$ y=\frac{16}{x - 2}+(x - 2)+2\geqslant2\sqrt{\frac{16}{x - 2}·(x - 2)}+2=10，$当且仅当$ \frac{16}{x - 2}=x - 2，$即 x=6 时等号.故选 C.

典例 2 (1)(2025·江苏扬州模拟)已知$x ＞ 0,y ＞ 0$，且$2x + y = 1$，则$\frac{x + y}{xy}$的最小值为(D)

A.$4$
B.$4\sqrt{2}$
C.$6$
D.$2\sqrt{2} + 3$

答案：
(1)D 因为 x＞0，y＞0，且 2x + y=1，所以$ \frac{x + y}{xy}=\frac{1}{y}+\frac{1}{x}=(\frac{1}{y}+\frac{1}{x})(2x + y)=\frac{2x}{y}+3\geqslant2\sqrt{2}+3，$当且仅当$ \frac{2x}{y}=\frac{y}{x}，$即$ x=\frac{2-\sqrt{2}}{2}，$$y=\sqrt{2}-1 $时取等号.故选 D.

(2)(2025·广东深圳期末)已知正实数$a,b$满足$a + 4b = ab$，则$a + b$的最小值为(B)

A.$4$
B.$9$
C.$10$
D.$20$

答案：
(2)B 因为 a，b 为正实数，方程 a + 4b=ab 两边同时除以 ab 得$ \frac{1}{b}+\frac{4}{a}=1，$所以$ a + b=(a + b)(\frac{1}{b}+\frac{4}{a})=\frac{a}{b}+4 + 1+\frac{4b}{a}\geqslant2\sqrt{\frac{a}{b}·\frac{4b}{a}}+5=9，$当且仅当$ \frac{a}{b}=\frac{4b}{a}$即 a=6，b=3 时等号成立，故 a + b 的最小值为 9.故选 B.

典例 3 (2025·山西太原模拟)已知正实数$x,y$满足$x^2 + 3xy - 2 = 0$，则$2x + y$的最小值为(A)

A.$\frac{2\sqrt{10}}{3}$
B.$\frac{\sqrt{10}}{3}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{1}{3}$

答案： 典例 3 A 因为正实数 x，y 满足$ x^2 + 3xy - 2=0，$则$ y=\frac{2}{3x}-\frac{x}{3}，$则$ 2x + y=2x+\frac{2}{3x}-\frac{x}{3}=\frac{5x}{3}+\frac{2}{3x}\geqslant2\sqrt{\frac{5x}{3}·\frac{2}{3x}}=\frac{2\sqrt{10}}{3}，$当且仅当$ \frac{5x}{3}=\frac{2}{3x}，$即$ x=\frac{\sqrt{10}}{5}，$$y=\frac{4\sqrt{10}}{15}$时，等号成立，所以 2x + y 的最小值为$ \frac{2\sqrt{10}}{3}.$故选 A.

对点练 1 (1)(多选题)下列选项正确的是(ABD)
A. 当$x ＞ \frac{1}{2}$时，函数$y = x + \frac{8}{2x - 1}$的最小值是$\frac{9}{2}$
B. 已知$m,n \in (0,+\infty),4m - mn = 1$，则$m + \frac{9}{n}$的最小值为$4$
C. $\frac{x^2 + 5}{\sqrt{x^2 + 4}}$的最小值是$2$
D. 已知正实数$a,b$，若$a + \frac{4}{b} = 1$，则$\frac{1}{a} + b$的最小值为$9$
(2)(多选题)(2025·苏锡常镇联考)已知正数$a,b$满足$ab = a + b + 1$，则(AC)
A. $a + b$的最小值为$2 + 2\sqrt{2}$
B. $ab$的最小值为$1 + \sqrt{2}$
C. $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$的最小值为$2\sqrt{2} - 2$
D. $2^a + 4^b$的最小值为$16\sqrt{2}$
(3) 已知$x,y$为正实数，则$\frac{x}{2x + y} + \frac{y}{x + 2y}$的最大值为$\frac{2}{3}$。

答案： $(1)ABD (2)AC (3)\frac{2}{3} (1)$对于 A，因为$ x＞\frac{1}{2}，$所以 2x - 1＞0，$x-\frac{1}{2}＞0，$所以$ y=x+\frac{8}{2x - 1}=x+\frac{4}{x - \frac{1}{2}}+\frac{1}{2}\geqslant2\sqrt{(x - \frac{1}{2})·\frac{4}{x - \frac{1}{2}}}+\frac{1}{2}=4+\frac{1}{2}=\frac{9}{2}，$当且仅当$ x - \frac{1}{2}=\frac{4}{x - \frac{1}{2}}，$即$ x=\frac{5}{2}$时取等号，故 A 正确；对于 B，$\forall m，$$n\in(0,+\infty)，$由 4m - mn=1 得$ \frac{1}{m}+n=4，$$m+\frac{9}{n}=\frac{1}{4}(m+\frac{9}{n})(\frac{1}{m}+n)=\frac{1}{4}(10+mn+\frac{9}{mn})\geqslant\frac{1}{4}(10+2\sqrt{mn·\frac{9}{mn}})=4，$当且仅当$ mn=\frac{9}{mn}，$即 m=1，n=3 时等号成立，故 B 正确；对于 C，因为$ \frac{x^2 + 5}{\sqrt{x^2 + 4}}=\frac{x^2 + 4 + 1}{\sqrt{x^2 + 4}}=\sqrt{x^2 + 4}+\frac{1}{\sqrt{x^2 + 4}}\geqslant2，$等号成立的条件是$ x^2=-3，$所以等号不成立，即最小值不是 2，故 C 错误；对于 D，已知 a，b 为正实数，若$ a+\frac{4}{b}=1，$则$ a=1-\frac{4}{b}，$b＞4，$\frac{1}{a}+b=\frac{b}{b - 4}+b=5+\frac{4}{b - 4}+b - 4\geqslant5+2\sqrt{\frac{4}{b - 4}×(b - 4)}=9，$当且仅当$ \frac{4}{b - 4}=b - 4，$即 b=6，$a=\frac{1}{3}$时取等号，故 D 正确.故选 ABD.
(2)对于 A，$a + b + 1=ab\leqslant(\frac{a + b}{2})^2，$则$ (a + b)^2 - 4(a + b) - 4\geqslant0，$解得$ a + b\geqslant2 + 2\sqrt{2}，$当且仅当 a=b 时等号成立，故 A 正确；对于 B，$ab=a + b + 1\geqslant3 + 2\sqrt{2}，$当且仅当 a=b 时等号成立，故 B 错误；对于 C，$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a + b}{ab}=\frac{ab - 1}{ab}=1-\frac{1}{ab}\geqslant1-\frac{1}{3 + 2\sqrt{2}}=2\sqrt{2}-2，$当且仅当 a=b 时等号成立，故 C 正确；对于 D，由 a + b + 1=ab，得$ 4=(a - 1)(2b - 2)\leqslant(\frac{a + 2b - 3}{2})^2，$解得$ a + 2b\geqslant7，$当且仅当 a=2b - 1，即 a=3，b=2 时等号成立，所以$ 2^{a}+4^{b}=2^{a}+2^{2b}\geqslant2\sqrt{2^{a + 2b}}\geqslant2\sqrt{2^{7}}=16\sqrt{2}，$此时 a=2b，所以等号不能同时取得，故 D 错误.故选 AC.
(3)令 2x + y=m，x + 2y=n，则$ x=\frac{2m - n}{3}，$$y=\frac{-m + 2n}{3}，$且 m＞0，n＞0，因此$ \frac{x}{2x + y}+\frac{y}{x + 2y}=\frac{\frac{2m - n}{3}}{m}+\frac{\frac{-m + 2n}{3}}{n}=\frac{2m - n}{3m}+\frac{-m + 2n}{3n}=\frac{4}{3}-(\frac{n}{3m}+\frac{m}{3n})\leqslant\frac{4}{3}-2\sqrt{\frac{n}{3m}×\frac{m}{3n}}=\frac{2}{3}，$当且仅当$ \frac{n}{3m}=\frac{m}{3n}，$即 m=n 时取等号，则$ \frac{x}{2x + y}+\frac{y}{x + 2y}$的最大值为$ \frac{2}{3}.$