《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

[真题再现]
(2022·北京卷) 设函数 f(x) =
{
-ax + 1, x ＜ a,
(x - 2)², x ≥ a
}
若 f(x) 存在最小值，则 a 的一个取值为0(答案不唯一)；a 的最大值为.1

答案： 真题再现 0(答案不唯一) 1 若$a = 0$,$f(x)=\begin{cases} 1,x＜0\\ (x - 2)^{2},x\geqslant0 \end{cases}$,所以$f(x)_{\min}=0$;若$a＜0$,当$x ＜ a$时,$f(x)=-ax + 1$单调递增,当$x\rightarrow-\infty$时,$f(x)\rightarrow-\infty$,故$f(x)$没有最小值，不符合题目要求(图象略).若$a＞0$,当$x ＜ a$时,$f(x)=-ax + 1$单调递减，$f(x)＞f(a)=-a^{2}+1$,当$x＞a$时,$f(x)_{\min}=(a - 2)^{2}$,所以$-a^{2}+1\geqslant0$或$-a^{2}+1\geqslant(a - 2)^{2}$,解得$0 ＜ a\leqslant1$,综上可得$0\leqslant a\leqslant1$;故答案为0(答案不唯一),1.

[教材呈现]
(北师必修一 P59B 组 T3) 设集合 A = [0, $\frac{1}{2}$)，B = [$\frac{1}{2}$, 1]，函数 f(x) =
{
x + $\frac{1}{2}$, x ∈ A,
2 - 2x, x ∈ B
}

答案： 答题卡：
函数 $f(x)$ 定义如下：
$f(x) = \begin{cases} x + \frac{1}{2}, & x \in [0, \frac{1}{2}) \\2 - 2x, & x \in [\frac{1}{2}, 1]\end{cases}$
当 $x \in [0, \frac{1}{2})$ 时，$f(x) = x + \frac{1}{2}$，这是一个线性函数，斜率为1，截距为$\frac{1}{2}$。
当 $x \in [\frac{1}{2}, 1]$ 时，$f(x) = 2 - 2x$，这也是一个线性函数，斜率为-2。
在 $x = \frac{1}{2}$ 处，由 $f(x) = x + \frac{1}{2}$ 得 $f(\frac{1}{2}) = 1$，
由 $f(x) = 2 - 2x$ 得 $f(\frac{1}{2}) = 1$，
因此函数在 $x = \frac{1}{2}$ 处连续。
函数在 $x \in [0, \frac{1}{2})$ 上单调递增，在 $x \in [\frac{1}{2}, 1]$ 上单调递减，
$f(0) = \frac{1}{2},f(1) = 0$，
函数的图像为从点 $(0, \frac{1}{2})$ 出发的线段，到点 $(\frac{1}{2}, 1)$ 结束，接着从点 $(\frac{1}{2}, 1)$ 出发的线段，到点 $(1, 0)$ 结束。
综上，函数图像是一个在 $[0, \frac{1}{2})$ 区间内上升，在 $[\frac{1}{2}, 1]$ 区间内下降的分段线性函数。

已知 x₀ ∈ A，且 f(f(x₀)) ∈ A，求实数 x₀ 的取值范围.
点评：
本题是教材习题的拓展，都考查了利用分段函数的图象求参数的范围，考查了数形结合的思想方法的应用.
请完成课时测评 17

答案： 答案略

1. 函数的零点
(1) 定义：使得f(x₀)=0的数 $ x_0 $ 称为方程 $ f(x) = 0 $ 的解，也称为函数 $ f(x) $ 的零点.
(2) 函数的零点、函数的图象与 $ x $ 轴的交点、对应方程的解的关系：
(3) 零点存在定理
若函数 $ y = f(x) $ 在闭区间 $ [a, b] $ 上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即f(a)·f(b)＜0，则在开区间 $ (a, b) $ 内，函数 $ y = f(x) $ 至少有一个零点，即在区间 $ (a, b) $ 内相应的方程 $ f(x) = 0 $ 至少有一个解.
[微提醒] (1) 函数的零点是实数，而不是点，是方程 $ f(x) = 0 $ 的实根. 零点一定在定义域内.
(2) 由函数 $ y = f(x) $ (图象是连续不断的) 在闭区间 $ [a, b] $ 上有零点不一定能推出 $ f(a)f(b) ＜ 0 $，如图所示.

答案： 1.
(1)f(x₀)=0 零点
(2)x轴 f(x)=0
(3)f(a)·f(b)＜0

2. 二分法
对于一般的函数 $ y = f(x) $，$ x \in [a, b] $，若函数 $ y = f(x) $ 的图象是一条连续的曲线，f(a)·f(b)＜0，则每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法.

答案： 2.f(a)·f(b)＜0 中点 一分为二

1. (多选题) 下列说法正确的是 (AC)

A.用二分法求函数零点的近似值适合于变号零点
B.函数的零点就是函数的图象与 $ x $ 轴的交点
C.二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ ($ a \neq 0 $) 在 $ b^2 - 4ac ＜ 0 $ 时没有零点
D.连续函数 $ y = f(x) $ 在区间 $ (a, b) $ 内有零点，则 $ f(a) · f(b) ＜ 0 $

答案： 1.AC