《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

(1)(2025·福建泉州期末)已知函数 $ f(x) = \sin\left(\omega x + \dfrac{\pi}{3}\right)(\omega ＞ 0) $的最小正周期为$\pi$，则函数在$\left[-\dfrac{\pi}{12},\dfrac{\pi}{6}\right]$的最大值是(D)

A.$0$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
D.$1$

答案：
(1)D 由函数$f(x) = \sin(\omega x + \frac{\pi}{3}) (\omega ＞ 0)$，则$T = \frac{2\pi}{\omega} = \pi$，得$\omega = 2$，即$f(x) = \sin(2x + \frac{\pi}{3})$，当$x \in \left[ -\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{6} \right]$时，$2x + \frac{\pi}{3} \in \left[ \frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3} \right]$，所以当$2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$，即$x = \frac{\pi}{12}$时函数$f(x)$取最大值为$f\left( \frac{\pi}{12} \right) = 1$。故选D。

已知 $ \omega ＞ 0 $，函数 $ f(x) = \sin\left(\omega x - \dfrac{\pi}{4}\right) $在区间$\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)$上单调递减，则实数$\omega$的取值范围是(B)

A.$\left[\dfrac{1}{2},\dfrac{5}{4}\right]$
B.$\left[\dfrac{3}{2},\dfrac{7}{4}\right]$
C.$\left(0,\dfrac{3}{4}\right]$
D.$(0,2]$

答案：
B 由题$x \in \left( \frac{\pi}{2}, \pi \right)$时，$\omega x - \frac{\pi}{4} \in \left( \frac{\omega\pi}{2} - \frac{\pi}{4}, \omega\pi - \frac{\pi}{4} \right)$，$\omega ＞ 0$，令$t = \omega x - \frac{\pi}{4}$，因为函数$f(x) = \sin\left( \omega x - \frac{\pi}{4} \right)$在区间$\left( \frac{\pi}{2}, \pi \right)$上单调递减，所以函数$y = \sin t$在$t \in \left( \frac{\omega\pi}{2} - \frac{\pi}{4}, \omega\pi - \frac{\pi}{4} \right)$，$\omega ＞ 0$上单调递减，则由正弦函数图象性质得$\frac{\omega\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \geq 2k\pi + \frac{\pi}{2}$，$\omega\pi - \frac{\pi}{4} \leq 2k\pi + \frac{3\pi}{2}$，$k \in \mathbb{Z}$，$\omega ＞ 0$，解$\begin{cases} \omega \geq 4k + \frac{3}{2} \\ \omega \leq 2k + \frac{7}{4} \end{cases} k \in \mathbb{Z}$，$\omega ＞ 0$，又由$4k + \frac{3}{2} \leq 2k + \frac{7}{4} \Rightarrow k \leq \frac{1}{8}$，故由$k \in \mathbb{Z}$，$\omega ＞ 0$得$\frac{3}{2} \leq \omega \leq \frac{7}{4}$。 故选B。

2. 已知单调区间求参数的两种方法
(1)子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是该区间的子集，列不等式(组)求解.
(2)周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过$\dfrac{1}{4}$个周期列不等式(组)求解.

答案：
(1)子集法：
①求出原函数的相应单调区间；
②由已知区间是该单调区间的子集，列不等式(组)；
③解不等式(组)，得参数范围.
(2)周期性法：
①确定函数周期$T$；
②计算所给区间两端点到相应对称中心的距离$d_1,d_2$；
③由$d_1\leq\frac{T}{4}$且$d_2\leq\frac{T}{4}$，列不等式(组)；
④解不等式(组)，得参数范围.

(1)函数 $ y = \tan\left(-3x + \dfrac{\pi}{6}\right) $的单调区间是(D)
A. $\left[k\pi - \dfrac{\pi}{3},k\pi + \dfrac{\pi}{3}\right](k \in \mathbf{Z})$
B. $\left(k\pi - \dfrac{\pi}{9},k\pi + \dfrac{2\pi}{9}\right)(k \in \mathbf{Z})$
C. $\left[\dfrac{k\pi}{3} - \dfrac{\pi}{9},\dfrac{k\pi}{3} + \dfrac{2\pi}{9}\right](k \in \mathbf{Z})$
D. $\left(\dfrac{k\pi}{3} - \dfrac{\pi}{9},\dfrac{k\pi}{3} + \dfrac{2\pi}{9}\right)(k \in \mathbf{Z})$
(2)(2025·山东东营期末)下列不等式成立的是(D)
A. $ \sin 1 ＞ \sin 2 $
B. $ \sin 1 ＞ 1 $
C. $ \sin 1 ＞ \tan 1 $
D. $ \sin 1 ＞ \cos 1 $
(3)(2025·河南新乡期末)若函数 $ f(x) = \cos\left(nx - \dfrac{\pi}{4}\right)(n \in \mathbf{N}_+) $在$\left[\dfrac{\pi}{8},\dfrac{3\pi}{8}\right]$上单调递减，则满足条件的 $ n $的个数为(C)
A. $4$
B. $3$
C. $2$
D. $1$

答案：
(1)D
(2)D
(3)C
(1)因为$y = \tan\left( -3x + \frac{\pi}{6} \right) = -\tan\left( 3x - \frac{\pi}{6} \right)$，令$k\pi - \frac{\pi}{2} ＜ 3x - \frac{\pi}{6} ＜ k\pi + \frac{\pi}{2}$，$k \in \mathbb{Z}$，解得$\frac{k\pi}{3} - \frac{\pi}{9} ＜ x ＜ \frac{k\pi}{3} + \frac{2\pi}{9}$，$k \in \mathbb{Z}$，所以函数$y = \tan\left( -3x + \frac{\pi}{6} \right)$的单调递减区间为$\left( \frac{k\pi}{3} - \frac{\pi}{9}, \frac{k\pi}{3} + \frac{2\pi}{9} \right) (k \in \mathbb{Z})$。故选D。
(2)对于A，由$0 ＜ 1 ＜ \pi - 2 ＜ \frac{\pi}{2}$知$\sin 1 ＜ \sin(\pi - 2) = \sin 2$，故A错误；对于B，显然有$\sin 1 ＜ 1$，故B错误；对于C，由$\frac{\pi}{4} ＜ 1 ＜ \frac{\pi}{2}$有$\sin 1 ＜ 1 = \tan \frac{\pi}{4} ＜ \tan 1$，故C错误；对于D，由$\frac{\pi}{4} ＜ 1 ＜ \frac{\pi}{2}$有$\sin 1 ＞ \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \cos \frac{\pi}{4} ＞ \cos 1$，故D正确。故选D。
(3)若$n = 1$，则$f\left( \frac{\pi}{8} \right) = \cos \frac{\pi}{8} ＜ 1 = f\left( \frac{\pi}{4} \right)$，故$f(x)$不满足条件；若$n = 2$或$n = 3$，则对$\frac{\pi}{8} \leq x \leq \frac{3\pi}{8}$有$0 \leq 2x - \frac{\pi}{4} \leq \frac{\pi}{2}$，或$\frac{\pi}{8} \leq 3x - \frac{\pi}{4} \leq \frac{7\pi}{8} ＜ \pi$。所以$nx - \frac{\pi}{4} \in [0, \pi]$，根据复合函数单调性知$f(x)$在$\left[ \frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8} \right]$上单调递减，满足条件；若$n = 4$，则$f\left( \frac{5\pi}{16} \right) = -1 ＜ -\frac{\sqrt{2}}{2} = f\left( \frac{3\pi}{8} \right)$，故$f(x)$不满足条件；若$n \geq 5$。则由$\frac{3n - 2}{8} - \frac{n - 2}{8} = \frac{n}{4} ＞ 1$知，存在正整数$k$满足$\frac{n - 2}{8} ＜ k ＜ \frac{3n - 2}{8}$。此时$\frac{\pi}{8} ＜ \frac{4k + 1}{4n}\pi ＜ \frac{3\pi}{8}$，$f\left( \frac{4k + 1}{4n}\pi \right) = \cos\left( \frac{4k + 1}{4}\pi - \frac{\pi}{4} \right) = \cos k\pi = (-1)^k$，从而$f(x)$在$\left( \frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8} \right)$上存在极值点，不可能单调递减，不满足条件。综上，满足条件的有$n = 2$和$n = 3$。故选C。

[真题再现] (2024·天津卷)
已知函数 $ f(x) = \sin 3\left(\omega x + \dfrac{\pi}{3}\right)(\omega ＞ 0) $的最小正周期为$\pi$，则$ f(x) $在$\left[-\dfrac{\pi}{12},\dfrac{\pi}{6}\right]$的最小值为(A)

A.$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
B.$-\dfrac{3}{2}$
C.$0$
D.$\dfrac{3}{2}$

答案： A 由$f(x)$的最小正周期为$\pi$，可得$\pi = \frac{2\pi}{\omega}$，所以$\omega = \frac{2}{3}$，所以$f(x) = \sin\left( 2x + \pi \right) = -\sin 2x$。当$x \in \left[ -\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{6} \right]$时，$2x \in \left[ -\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3} \right]$，$\sin 2x \in \left[ -\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right]$，所以$f(x)_{\min} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$。故选A。

[教材呈现] (北师必修二 P33 练习 T2(2))
函数 $ y = \sin x,x \in \left[\dfrac{\pi}{6},\dfrac{2\pi}{3}\right] $，则 $ y $的取值范围是(B)

A.$\left(\dfrac{1}{2},1\right]$
B.$\left[\dfrac{1}{2},1\right)$
C.$\left[\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right]$
D.$\left[\dfrac{\sqrt{3}}{2},1\right]$
点评：本题与教材习题非常类似，都考查了正弦函数在给定区间上的值域(最值)，而高考试题需要对三角函数进行简单的变换，高考题是课本习题的延伸.

答案： B

1. (2025·八省适应性测试)函数 $ f(x)=\cos \left(x+\frac{\pi}{4}\right) $ 的最小正周期是(D)

A.$ \frac{\pi}{4} $
B.$ \frac{\pi}{2} $
C.$ \pi $
D.$ 2\pi $

答案： 1.D 由题意，$f(x)$的最小正周期$T=\frac{2\pi}{1}=2\pi$。故选D.

2. (2025·陕西西安模拟)函数 $ f(x)=|\sin ^{2} x-\cos ^{2} x| $ 的最小正周期为(A)

A.$ \frac{\pi}{2} $
B.$ \pi $
C.$ 2\pi $
D.$ 4\pi $

答案： 2.A $f(x)=\vert\sin^{2}x - \cos^{2}x\vert=\vert\cos2x\vert$，由于函数$y = \cos2x$的最小正周期为$\pi$，且为偶函数，$y=\vert\cos2x\vert$是将$y = \cos2x$在$x$轴下方的图象沿着$x$轴翻折上去，$x$轴上方的图象保持不变得到，故最小正周期为$\frac{\pi}{2}$。故选A.