《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

[真题再现] (2024·全国甲卷)已知$a＞1$且$\frac{1}{\log_{8}a}-\frac{1}{\log_{a}4}=-\frac{5}{2}$，则$a=$64.

答案： 真题再现 64 根据题意有$\frac{1}{\frac{1}{3}\log_{2}a} = - \frac{5}{2}$,即$3\log_{2}a - \frac{1}{\frac{1}{2}\log_{2}a} = - \frac{5}{2}$,设$t = \log_{2}a(a ＞ 1)$,则$t ＞ 0$,故$3t - \frac{5}{2t} = - \frac{5}{2}$,解得$t = \frac{1}{6}(t = - 1$舍去),所以$\log_{2}a = \frac{1}{6}$,所以$a^{\frac{1}{6}} = 2$,所以$a = 64$.

[教材呈现] (北师必修一$P108B$组$T4$)已知$a$，$b$是方程$2(\ln x)^{2}-3\ln x + 1 = 0$的两个实数根，求下列各式的值：
(1) $\frac{1}{\ln a}+\frac{1}{\ln b}$；
(2) $\log_{a}b+\log_{b}a$.
点评：本题与教材习题类似，主要考查对数的运算和整体代换的思想方法；体现了高考题源于教材、高于教材的命题趋势.

答案：
(1)设$ t = \ln x $，则方程$ 2(\ln x)^2 - 3\ln x + 1 = 0 $化为$ 2t^2 - 3t + 1 = 0 $。
因为$ a $，$ b $是原方程的根，所以$ t_1 = \ln a $，$ t_2 = \ln b $是方程$ 2t^2 - 3t + 1 = 0 $的两根。
由韦达定理得：$ t_1 + t_2 = \frac{3}{2} $，$ t_1t_2 = \frac{1}{2} $。
$ \frac{1}{\ln a} + \frac{1}{\ln b} = \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{t_1 + t_2}{t_1t_2} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} = 3 $。
(2)$ \log_{a}b + \log_{b}a = \frac{\ln b}{\ln a} + \frac{\ln a}{\ln b} = \frac{t_2}{t_1} + \frac{t_1}{t_2} = \frac{t_1^2 + t_2^2}{t_1t_2} $。
因为$ t_1^2 + t_2^2 = (t_1 + t_2)^2 - 2t_1t_2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 2×\frac{1}{2} = \frac{9}{4} - 1 = \frac{5}{4} $，
所以$ \frac{t_1^2 + t_2^2}{t_1t_2} = \frac{\frac{5}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{5}{2} $。
(1) $ 3 $
(2) $ \frac{5}{2} $

1. 指数函数的概念
$y = a^x(a ＞ 0$，且$a \neq 1)$是一个定义在实数集上的函数，称为指数函数，其中指数$x$是自变量，定义域是$\mathbf{R}$。函数值大于$0$。

答案： 1.指数函数

2. 指数函数的图象和性质

| | a ＞ 1 | 0 ＜ a ＜ 1 |
| --- | --- | --- |
| 图象 |$ \begin{tikzpicture}[scale=0.8]\draw[-＞] (-1.5,0) -- (2.5,0) node[right] {x};\draw[-＞] (0,-0.5) -- (0,2.5) node[above] {y};\draw[domain=-1.5:2.5,samples=100,smooth,variable=\x,blue] plot ({\x},{exp(\x r)});\draw[domain=-1.5:2.5,dashed] (0,1) -- (2.5,1) node[right] {y = 1};\filldraw (0,1) circle (2pt) node[below right] {(0,1)};\end{tikzpicture} $|$ \begin{tikzpicture}[scale=0.8]\draw[-＞] (-1.5,0) -- (2.5,0) node[right] {x};\draw[-＞] (0,-0.5) -- (0,2.5) node[above] {y};\draw[domain=-1.5:2.5,samples=100,smooth,variable=\x,blue] plot ({\x},{exp(-\x r)});\draw[domain=-1.5:2.5,dashed] (0,1) -- (2.5,1) node[right] {y = 1};\filldraw (0,1) circle (2pt) node[below right] {(0,1)};$

答案： 2.R $(0,+\infty)$ (0,1) $0＜y＜1\ y＞1\ y＞1\ 0＜y＜1$ 增函数 减函数

1. (多选题)下列结论错误的是(ABC)

A.函数$y = 2^{x - 1}$是指数函数
B.函数$y = a^{x^2 + 1}(a ＞ 1)$的值域是$(0, +\infty)$。
C.若$a^m ＜ a^n(a ＞ 0$，且$a \neq 1)$，则$m ＜ n$
D.若函数$f(x)$是指数函数，且$f(1) ＞ 1$，则$f(x)$是增函数

答案： 1.ABC