《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

(1)(2023·全国乙卷)在$\triangle ABC$中，内角$A$，$B$，$C$的对边分别是$a$，$b$，$c$，若$a\cos B - b\cos A = c$，且$C = \dfrac{\pi}{5}$，则$B$＝(C)

A.$\dfrac{\pi}{10}$
B.$\dfrac{\pi}{5}$
C.$\dfrac{3\pi}{10}$
D.$\dfrac{2\pi}{5}$

答案：
(1)C 由射影定理$a\cos B - b\cos A = c = a\cos B + b\cos A$，则$\cos A = 0$，$A = \frac{\pi}{2}$，则$B = \pi - A - C = \pi - \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{5} = \frac{3\pi}{10}$. 故选C.

(2)在$\triangle ABC$中，内角$A$，$B$，$C$的对边分别是$a$，$b$，$c$，若$a = b\cos C + c\sin B$，且$\triangle ABC$的面积为$1 + \sqrt{2}$，则$b$的最小值为(A)

A.$2$
B.$3$
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}$

答案：
(2)A 由射影定理$a = b\cos C + c\cos B$和条件$a = b\cos C + c\sin B$，所以$\sin B = \cos B$，又$B \in (0,\pi)$，所以$B = \frac{\pi}{4}$，又$S_{\triangle ABC} = 1 + \sqrt{2}$，所以$\frac{1}{2}ac\sin B = 1 + \sqrt{2}$，即$ac = 4 + 2\sqrt{2}$.所以$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2ac\cos B = a^{2} + c^{2} - \sqrt{2}ac \geq 2ac - \sqrt{2}ac = 4$，当且仅当$a = c$时取等号，所以$b$的最小值为$2$.故选A.

(2025·陕西渭南模拟)已知$\triangle ABC$中，角$A$，$B$，$C$所对的边分别是$a$，$b$，$c$，若$b\cos C + c\cos B = b$，且$a = c\cos B$，则$\triangle ABC$是(D)

A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形

答案： 典例2 D 由射影定理$b\cos C + c\cos B = a = b$，又$a = c\cos B = c\cos B + b\cos C$，故$\cos C = 0$，因为$C \in (0,\pi)$，所以$C = \frac{\pi}{2}$，故$\triangle ABC$为等腰直角三角形.故选D.

(1)在$\triangle ABC$中，角$A$，$B$，$C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$，若$a = b\cos C$，且$c = 6$，$A = \dfrac{\pi}{6}$，则$\triangle ABC$的面积为(D)

A.$2\sqrt{3}$
B.$3\sqrt{3}$
C.$4\sqrt{3}$
D.$6\sqrt{3}$

答案：
(1)D 由射影定理$a = b\cos C + c\cos B$，又$a = b\cos C$，所以$c\cos B = 0$，故$\cos B = 0$，因为$B \in (0,\pi)$，所以$B = \frac{\pi}{2}$，故$\triangle ABC$为直角三角形.又$c = 6$，$A = \frac{\pi}{6}$，所以$a = 6\tan\frac{\pi}{6} = 2\sqrt{3}$，所以$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}ac = 6\sqrt{3}$.故选D.

(2)在$\triangle ABC$中，内角$A$，$B$，$C$的对边分别是$a$，$b$，$c$，$c = a\cos B + 2\cos A$，$2b = c$，若$\cos C = -\dfrac{1}{4}$，则$\triangle ABC$的面积为$\frac{3\sqrt{15}}{4}$。

答案：
(2)$\frac{3\sqrt{15}}{4}$ 由三角形中的射影定理$c = a\cos B + b\cos A$，结合已知条件$c = a\cos B + 2\cos A$，可得$b = 2$，又因为$2b = c$，所以$c = 4$，由$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab\cos C$，可得$16 = a^{2} + 4 - 4a × (-\frac{1}{4})$，解得$a = 3$(负值舍去)，所以三角形的面积为$\frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2} × 3 × 2 × \sqrt{1 - (-\frac{1}{4})^{2}} = \frac{3\sqrt{15}}{4}$.

(1)(2025·河南南阳模拟)在$\triangle ABC$中，已知$a = a\cos B + b\cos A = 1$，$\sin C = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，则(B)

A.$b = 1$
B.$b = \sqrt{2}$
C.$c = \sqrt{2}$
D.$c = \sqrt{3}$

答案：
(1)B 由$a\cos B + b\cos A = 1$，则$c = 1$；又$\sin C = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$C \in (0,\pi)$，故$C = \frac{\pi}{4}$或$\frac{3\pi}{4}$；又$a = c = 1$，故$A = C$，显然$A = C = \frac{\pi}{4}$，则$B = \pi - \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$，$\triangle ABC$为等腰直角三角形，故$b^{2} = a^{2} + c^{2} = 2$，解得$b = \sqrt{2}$.故选B.

(2)已知$\triangle ABC$的内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，$a\cos B + b\cos A = 3$，且$\sin^{2}\dfrac{A + B}{2} = \dfrac{3}{4}$，$b = 3$，则$\triangle ABC$的形状为(C)

A.直角三角形
B.钝角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形

答案：
(2)C 因为$a\cos B + b\cos A = 3$，所以$c = a\cos B + b\cos A = 3$，又因为$\sin^{2}\frac{A + B}{2} = \frac{3}{4}$，所以$\frac{1 - \cos(A + B)}{2} = \frac{1 + \cos C}{2} = \frac{3}{4}$，所以$\cos C = \frac{1}{2}$，所以$C = \frac{\pi}{3}$，又因为$b = c = 3$，$C = \frac{\pi}{3}$，所以$\triangle ABC$是等边三角形.故选C.

(3)(2025·天津南开区模拟)$\triangle ABC$的面积为$S$。若$b\cos C + c\cos B = a\sin A$，$S = \dfrac{1}{4}(b^{2} + a^{2} - c^{2})$，则角$B$等于$\frac{\pi}{4}$。

答案：
(3)$\frac{\pi}{4}$ 根据题意知$b\cos C + c\cos B = a = a\sin A$，则$\sin A = 1$，所以得$A = \frac{\pi}{2}$，由$S = \frac{1}{4}(b^{2} + a^{2} - c^{2}) = \frac{1}{4} × 2ba\cos C = \frac{1}{2}ba\sin C$，可得$\tan C = 1$，$0 ＜ C ＜ \frac{\pi}{2}$，所以$C = \frac{\pi}{4}$，所以$B = \pi - A - C = \pi - \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.