《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

(1)当$a = 1$时，求函数$f(x)$的极大值；

答案：
(1)当$a = 1$时，$f(x)=x^{2}-3x+\ln x$，定义域为$(0,+\infty)$，
则$f^{\prime}(x)=2x - 3+\frac{1}{x}=\frac{2x^{2}-3x + 1}{x}$
令$f^{\prime}(x)\gt0$，则$0\lt x\lt\frac{1}{2}$或$x\gt1$；令$f^{\prime}(x)\lt0$，则$\frac{1}{2}\lt x\lt1$；
则$f(x)$在$(0,\frac{1}{2}),(1,+\infty)$上单调递增，在$(\frac{1}{2},1)$上单调递减，
故函数$f(x)$的极大值为$f(\frac{1}{2})=\frac{1}{4}-\frac{3}{2}+\ln\frac{1}{2}=-\ln2-\frac{5}{4}$.

(2)若$\dfrac{f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}＞-2$对一切$0＜x_{1}＜x_{2}$都成立，求实数$a$的取值范围.

答案：
(2)因为$\frac{f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}\gt - 2$对一切$0\lt x_{1}\lt x_{2}$都成立，
所以$f(x_{1})+2x_{1}\lt f(x_{2})+2x_{2}$对一切$0\lt x_{1}\lt x_{2}$都成立，
令$m(x)=f(x)+2x$，则$m(x)=ax^{2}-ax+\ln x$，定义域为$(0,+\infty)$，
则原问题转化为$m(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增；
又$m^{\prime}(x)=2ax - a+\frac{1}{x}=\frac{2ax^{2}-ax + 1}{x}$
当$a = 0$时，$m^{\prime}(x)=\frac{1}{x}\gt0$，$m(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增；
当$a\neq0$时，需$m^{\prime}(x)\geq0$在$(0,+\infty)$上恒成立，即$2ax^{2}-ax + 1\geq0$在$(0,+\infty)$上恒成立.
对于$y = 2ax^{2}-ax + 1$，图象过定点$(0,1)$，对称轴为$x=\frac{1}{4}$，
故要使得$2ax^{2}-ax + 1\geq0$在$(0,+\infty)$上恒成立.
需满足$a\gt0$且$2a(\frac{1}{4})^{2}-\frac{a}{4}+1\geq0$，解得$0\lt a\leq8$，
综上可得$0\leq a\leq8$，即实数$a$的取值范围为$[0,8]$.

(1)当$a=\dfrac{1}{2}$，求$f(x)$的极值；

答案：
(1)$f(x)$的定义域为$(0,+\infty)$，当$a=\frac{1}{2}$时，$f(x)=4\ln x-\frac{x}{2}+\frac{7}{2x}$，所以$f^{\prime}(x)=\frac{4}{x}-\frac{1}{2}-\frac{7}{2x^{2}}=\frac{(x - 1)(x - 7)}{2x^{2}}$
令$f^{\prime}(x)\gt0$，可得$1\lt x\lt7$，令$f^{\prime}(x)\lt0$，可得$0\lt x\lt1$或$x\gt7$，
所以函数的单调减区间为$(0,1),(7,+\infty)$，单调增区间为$(1,7)$，
所以$x = 1$时，函数取得极小值为$3$；$x = 7$时，函数取得极大值为$4\ln7 - 3$.

(2)当$a\geqslant 1$时，设$g(x)=2e^{x}-4x + 2a$，若存在$x_{1}$，$x_{2}\in \left[\dfrac{1}{2},2\right]$，$f(x_{1})＞g(x_{2})$，求实数$a$的取值范围.($e$为自然对数的底数，$e=2.71828·s$)

答案：
(2)$f^{\prime}(x)=\frac{-ax^{2}+4x-(a + 3)}{x^{2}}(x\gt0)$，
令$h(x)= - ax^{2}+4x - (a + 3)$，
若$a\geq1$，则$\Delta=16 - 4a^{2}-12a= - 4(a - 1)(a + 4)\leq0$，
所以$f(x)$在区间$(0,+\infty)$上单调递减，
所以当$a\geq1$时，$f(x)$在$[\frac{1}{2},2]$上单调递减，
所以$f(x)$在$[\frac{1}{2},2]$上的最大值为$f(\frac{1}{2})= - 4\ln2+\frac{3}{2}a + 6$，
$g^{\prime}(x)=2e^{x}-4$，令$g^{\prime}(x)=0$，得$x=\ln2$，
当$x\in[\frac{1}{2},\ln2)$时，$g^{\prime}(x)\lt0$，所以$g(x)$单调递减，
当$x\in(\ln2,2]$时，$g^{\prime}(x)\gt0$，所以$g(x)$单调递增，
所以$g(x)$在$[\frac{1}{2},2]$上的最小值为$g(\ln2)=4 - 4\ln2+2a$，
由题意可知$-4\ln2+\frac{3}{2}a + 6\gt4 - 4\ln2+2a$，解得$a\lt4$，
又因为$a\geq1$，所以实数$a$的取值范围为$[1,4)$.