《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

(2025·山东济南模拟)已知函数 $ f(x) $ 的定义域为 $ \mathbf{R} $，且 $ yf(x) - xf(y) = xy(x - y) $，则下列结论一定成立的是(C)

A.$ f(1) = 1 $
B.$ f(x) $ 为偶函数
C.$ f(x) $ 有最小值
D.$ f(x) $ 在 $ [0,1] $ 上单调递增

答案： 对点练2.C 由于函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，且$yf(x) - xf(y) = xy(x - y)$，令$y = 1$，则$f(x) - xf(1) = x(x - 1)$，得$f(x) = x^{2} + [f(1) - 1]x$，$x = 1$时，$f(1) = 1^{2} + [f(1) - 1]$恒成立，无法确定$f(1) = 1$，故A不一定成立；由于$f(1) = 1$不一定成立，故$f(x) = x^{2} + [f(1) - 1]x$不一定为偶函数，故B不一定成立；由于$f(x) = x^{2} + [f(1) - 1]x$的对称轴为$x = - \frac{1}{2} · [f(1) - 1]$与$[0,1]$的位置关系不确定，故$f(x)$在$[0,1]$上不一定单调递增，故D也不一定成立，由于$f(x) = x^{2} + [f(1) - 1]x$表示开口向上的抛物线，故函数$f(x)$必有最小值，故C一定成立.故选C.

(2022·新课标Ⅱ卷)已知函数 $ f(x) $ 的定义域为 $ \mathbf{R} $，且 $ f(x + y) + f(x - y) = f(x)f(y) $，$ f(1) = 1 $，则 $ \sum_{k = 1}^{22} f(k) = $(A)

A.$ -3 $
B.$ -2 $
C.$ 0 $
D.$ 1 $

答案： 典例3 A 法一：赋值加性质：因为$f(x + y) + f(x - y) = f(x)f(y)$，令$x = 1$，$y = 0$可得$2f(1) = f(1)f(0)$，所以$f(0) = 2$，令$x = 0$，得$f(y) + f( - y) = 2f(y)$，即$f(y) = f( - y)$，所以函数$f(x)$为偶函数，令$y = 1$得，$f(x + 1) + f(x - 1) = f(x)f(1) = f(x)$，即有$f(x + 2) + f(x) = f(x + 1)$，从而可知$f(x + 2) = - f(x - 1)$，$f(x - 1) = - f(x - 4)$，故$f(x + 2) = f(x - 4)$，即$f(x) = f(x + 6)$，所以函数$f(x)$的一个周期为$6$.因为$f(2) = f(1) - f(0) = 1 - 2 = - 1$，$f(3) = f(2) - f(1) = - 1 - 1 = - 2$，$f(4) = f( - 2) = f(2) = - 1$，$f(5) = f( - 1) = f(1) = 1$，$f(6) = f(0) = 2$，所以一个周期内的$f(1) + f(2) + ·s + f(6) = 0$.由于$22$除以$6$余$4$，所以$\sum_{k = 1}^{22}f(k) = f(1) + f(2) + f(3) + f(4) = 1 - 1 - 2 - 1 = - 3$.故选A.
法二：构造特殊函数：由$f(x + y) + f(x - y) = f(x)f(y)$，设$f(x) = a\cos\omega x$，则由法一中$f(0) = 2$，$f(1) = 1$知$a = 2$，$a\cos\omega = 1$，解得$\cos\omega = \frac{1}{2}$，取$\omega = \frac{\pi}{3}$，所以$f(x) = 2\cos\frac{\pi}{3}x$，则$f(x + y) + f(x - y) = 2\cos(\frac{\pi}{3}x + \frac{\pi}{3}y) + 2\cos(\frac{\pi}{3}x - \frac{\pi}{3}y) = 4\cos\frac{\pi}{3}x\cos\frac{\pi}{3}y = f(x)f(y)$，所以$f(x) = 2\cos\frac{\pi}{3}x$符合条件，因此$f(x)$的周期$T = \frac{2\pi}{\frac{\pi}{3}} = 6$，$f(0) = 2$，$f(1) = 1$，且$f(2) = - 1$，$f(3) = - 2$，$f(4) = - 1$，$f(5) = 1$，$f(6) = 2$，所以$f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) + f(6) = 0$，由于$22$除以$6$余$4$，所以$\sum_{k = 1}^{22}f(k) = f(1) + f(2) + f(3) + f(4) = 1 - 1 - 2 - 1 = - 3$.故选A.

(1)(2025·吉林长春模拟)已知函数 $ f(x) $ 的定义域为 $ \mathbf{R} $，且 $ f(x + y) + f(x - y) = 2f(x)f(y) $，$ f(0) = 1 $，$ f(3x + 1) = -f(-3x + 1) $，则 $ \sum_{k = 0}^{2025} f(k) = $(D)

A.$ -2 $
B.$ -1 $
C.$ 0 $
D.$ 1 $

答案：
(1)D 由题意知函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，且$f(x + y) + f(x - y) = 2f(x)f(y)$，$f(0) = 1$，令$x = 0$，则$f(y) + f( - y) = 2f(y)$，即$f( - y) = f(y)$，故$f(x)$为偶函数；又$f(3x + 1) = - f( - 3x + 1)$，令$x = 0$，则$f(1) = - f(1)$，所以$f(1) = 0$，又由$f(3x + 1) = - f( - 3x + 1)$，得$f(x + 1) + f( - x + 1) = 0$，即$f(x + 2) = - f( - x)$，又结合$f(x)$为偶函数，则$f(x + 2) = - f(x)$，故$f(x + 4) = - f(x + 2) = f(x)$，即$4$为$f(x)$的周期，故$f(3) = f( - 1) = f(1) = 0$，$f(4) = f(0) = 1$，故$\sum_{k = 1}^{2024}f(k) = f(0) + [f(1) + f(2) + ·s + f(2024)] + f(2025)=1 + 506[f(1) + f(2) + f(3) + f(4)] + f(1) = 1 + 506(0 - 1 + 0 + 1) + 0 = 1$.故选D.

(2)(多选题)(2025·辽宁沈阳模拟)已知定义域为 $ \mathbf{R} $ 的函数 $ f(x) $ 满足 $ f(x + y) = f(x)f(y) - f(1 - x)f(1 - y) $，且 $ f(0) \neq 0 $，$ f(-1) = 0 $，则(ABC)

A.$ f(1) = 0 $
B.$ f(x) $ 是偶函数
C.$ [f(x)]^2 + [f(1 + x)]^2 = 1 $
D.$ \sum_{i = 1}^{2024} f(i) = -1 $

答案：
(2)ABC 对于A，由$f(x + y) = f(x)f(y) - f(1 - x)f(1 - y)$，令$x = y = \frac{1}{2}$，则$f(1) = [f(\frac{1}{2})]^{2} - [f(1 - \frac{1}{2})]^{2} = 0$，故A正确；对于B，令$x = y = 0$，则$f(0) = [f(0)]^{2} - [f(1)]^{2}=[f(0)]^{2}$，因为$f(0) \neq 0$，故$f(0) = 1$，令$y = 1$，则$f(x + 1) = f(x)f(1) - f(1 - x)f(0) = - f(1 - x)$ ①，所以函数$f(x)$关于点$(1,0)$成中心对称，令$x = y = 1$，则$f(2) = [f(1)]^{2} - [f(0)]^{2} = - 1$，令$y = 2$，则$f(x + 2) = f(x)f(2) - f(1 - x)f( - 1) = - f(x)$ ②，由①可得$f(x + 2) = - f( - x)$ ③，由②③可知$f( - x) = f(x)$，且函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，则函数$f(x)$是偶函数，故B正确；令$y = - x$，则$f(0) = f(x)f( - x) - f(1 - x)f(1 + x)$，因为$f(0) = 1$，$f( - x) = f(x)$，$f(x + 1) = - f(1 - x)$，代入上式中得，$[f(x)]^{2} + [f(1 + x)]^{2} = 1$，故C正确；对于D，由上可知$f(x + 4) = - f(x + 2) = f(x)$，故函数$f(x)$的一个周期为$4$，故$f(4) = f(0) = 1$，令$x = 2$，$y = 1$，则$f(3) = f(2)f(1) - f( - 1)f(0) = 0$，所以$f(1) + f(2) + f(3) + f(4) = 0+( - 1)+0 + 1 = 0$，则$\sum_{i = 1}^{2024}f(i) = 506 × 0 = 0$，故D错误.故选ABC.

(多选题)(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数 $ f(x) $ 的定义域为 $ \mathbf{R} $，$ f(xy) = y^2f(x) + x^2f(y) $，则(ABC)

A.$ f(0) = 0 $
B.$ f(1) = 0 $
C.$ f(x) $ 是偶函数
D.$ x = 0 $ 为 $ f(x) $ 的极小值点

答案：
典例4 ABC 法一：赋值加性质：因为$f(xy) = y^{2}f(x) + x^{2}f(y)$，对于A，令$x = y = 0$，$f(0) = 0f(0) + 0f(0) = 0$，故A正确；对于B，令$x = y = 1$，$f(1) = 1 × f(1) + 1 × f(1)$，则$f(1) = 0$，故B正确；对于C，令$x = y = - 1$，$f(1) = f( - 1) + f( - 1) = 2f( - 1)$，则$f( - 1) = 0$，令$y = - 1$，$f( - x) = f(x) + x^{2}f( - 1) = f(x)$，又函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，所以$f(x)$为偶函数，故C正确；对于D，不妨令$f(x) = 0$，显然符合题设条件，此时$f(x)$无极值，故D错误.故选ABC.
法二：构造特殊函数：对于D，当$x^{2}y^{2} \neq 0$时，对$f(xy) = y^{2}f(x) + x^{2}f(y)$两边同时除以$x^{2}y^{2}$，得到$\frac{f(xy)}{x^{2}y^{2}} = \frac{f(x)}{x^{2}} + \frac{f(y)}{y^{2}}$，故可以设$f(x) = x^{2}g(x)$，当$x ＞ 0$时，则$f(x) = \ln|x| · |x|$，当$x ＞ 0$时，$f(x) = x^{2}\ln x$，则$f^{\prime}(x) = 2x\ln x + x^{2} · \frac{1}{x} = x(2\ln x + 1)$，令$f^{\prime}(x) ＜ 0$，得$0 ＜ x ＜ e^{- \frac{1}{2}}$；令$f^{\prime}(x) ＞ 0$，得$x ＞ e^{- \frac{1}{2}}$；故$f(x)$在$(0,e^{- \frac{1}{2}})$上单调递减，在$(e^{- \frac{1}{2}}, + \infty)$上单调递增，因为$f(x)$为偶函数，所以$f(x)$在$( - e^{- \frac{1}{2}},0)$上单调递增，在$( - \infty, - e^{- \frac{1}{2}})$上单调递减，显然，此时$x = 0$是$f(x)$的极大值，故D错误；由$f(x)$解析式及图象易知ABC正确.故选ABC.

(多选题)(2025·广东深圳模拟)已知函数 $ f(x) $ 的定义域为 $ \mathbf{R} $，且 $ f(x + y)f(x - y) = f^2(x) - f^2(y) $，$ f(1) = 1 $，$ f(2) = 0 $，则下列说法中正确的是(BC)

A.$ f(x) $ 为偶函数
B.$ f(3) = -1 $
C.$ f(-1) = -f(5) $
D.$ \sum_{k = 1}^{2026} f(k) = 0 $

答案： 对点练4.BC 对于A，因为$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，且$f(x + y)f(x - y) = f^{2}(x) - f^{2}(y)$，令$x = y = 0$，则$f(0)f(0) = f^{2}(0) - f^{2}(0)$，故$f^{2}(0) = 0$，令$x = 0$，则$f(y)f( - y) = - f^{2}(y)$，又$f(1) = 1$，则$f(y)$不恒为$0$，故$f( - y) = - f(y)$，所以$f(x)$为奇函数，故A错误；对于B，令$x = 2$，$y = 1$，则$f(3)f(1) = f^{2}(2) - f^{2}(1)$，而$f(1) = 1$，$f(2) = 0$，所以$f(3) = - 1$，故B正确；对于C，由B可知，$f(3) = - 1$，令$x = 3$，$y = 2$，则$f(5)f(1) = f^{2}(3) - f^{2}(2)$，所以$f(5) = 1$，又因为$f(x)$为奇函数，所以$f( - 1) = - f(1) = - 1$，所以$f( - 1) = - f(5)$，故C正确；对于D，由B以及$f(x + 2)f(x - 2) = f^{2}(x)$，可得$f(7) = - 1$，$f(9) = 1$，$f(11) = - 1$，所以$f(2k + 1) = ( - 1)^{k}(k \in \mathbf{N})$，令$x = 2k + 2$，$y = 2k$得$f^{2}(2k + 2) - f^{2}(2k) = f(4k + 2)f(2) = f(4k + 2) × 0 = 0$，结合$f(2) = 0$递推可得$f(2k) = 0(k \in \mathbf{N})$，因为$2026 ÷ 4 = 506·s·s2$，故$\sum_{k = 1}^{2026}f(k) = f(1) + f(2) = 1$，故D错误.故选BC.

1. 幂函数
(1) 定义：一般地，形如 $ y = x^{\alpha} $($ \alpha $ 为常数)的函数，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数。
(2) 简单幂函数的图象和性质

答案： 1.
(2)$\{x \mid x \neq 0\}$ $[0, +\infty)$ $[0, +\infty)$ $x \in (-\infty,0)$减,$x \in (0, +\infty)$减 奇函数