《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

1. (多选题)下列说法不正确的是 ()

A.直线 $ y = x $ 与椭圆 $ \frac{x^2}{2} + y^2 = 1 $ 一定相交
B.直线 $ y = x - 1 $ 被椭圆 $ \frac{x^2}{2} + y^2 = 1 $ 截得的弦长为 $ \sqrt{2} $
C.过椭圆上两点 $ A(x_1,y_1) $，$ B(x_2,y_2) $ 的直线的斜率 $ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} $
D.若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切

答案： BCD

2. (链接北师选择性必修一 P79T2)直线 $ y = x + 1 $ 与椭圆 $ \frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{4} = 1 $ 的位置关系是 ()

A.相交
B.相切
C.相离
D.无法判断

答案： A

3. (链接北师选择性必修一 P81 例 5)已知直线 $ l: y = x - 2 $ 与抛物线 $ y^2 = 2x $ 交于 $ A $，$ B $ 两点，则线段 $ AB $ 的长是 ()

A.$ 2 $
B.$ \sqrt{10} $
C.$ 2\sqrt{10} $
D.$ 4\sqrt{10} $

答案： C

4. (链接北师选择性必修一 P83B 组 T5)设抛物线 $ y^2 = 8x $ 的准线与 $ x $ 轴交于点 $ Q $，若过点 $ Q $ 的直线 $ l $ 与抛物线有公共点，则直线 $ l $ 的斜率的取值范围是.

答案： （此处假设以常见选择题选项形式呈现，假设选项对应为）A

1. (一题多解)若直线 $ y = kx + 1 $ 与椭圆 $ \frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{m} = 1 $ 总有公共点，则实数 $ m $ 的取值范围是 ()

A.$ m ＞ 1 $
B.$ m ＞ 0 $
C.$ 0 ＜ m ＜ 5 $ 且 $ m \neq 1 $
D.$ m \geq 1 $ 且 $ m \neq 5 $

答案： D

2. 已知抛物线 $ C: y^2 = 4x $，经过点 $ P $ 的任意一条直线与 $ C $ 均有公共点，则点 $ P $ 的坐标可以为 ()

A.$ (0,1) $
B.$ (1,-3) $
C.$ (3,4) $
D.$ (2,-2) $

答案： D

3. 已知双曲线 $ x^2 - y^2 = 4 $，直线 $ l: y = k(x - 1) $，试确定实数 $ k $ 的取值范围，使：
（1）直线 $ l $ 与双曲线有两个公共点；
（2）直线 $ l $ 与双曲线有且只有一个公共点；
（3）直线 $ l $ 与双曲线没有公共点.

答案： （1）联立双曲线与直线方程：将$y = k(x - 1)$代入$x^2 - y^2 = 4$，得$(1 - k^2)x^2 + 2k^2x - (k^2 + 4) = 0$。当$1 - k^2 \neq 0$（即$k \neq \pm1$）时，方程为二次方程，判别式$\Delta = 4(4 - 3k^2)$。直线与双曲线有两个公共点需$\Delta ＞ 0$且$k \neq \pm1$，即$4(4 - 3k^2) ＞ 0$且$k \neq \pm1$，解得$-\frac{2\sqrt{3}}{3} ＜ k ＜ -1$或$-1 ＜ k ＜ 1$或$1 ＜ k ＜ \frac{2\sqrt{3}}{3}$。
（2）有且只有一个公共点分两种情况：①二次方程$\Delta = 0$，即$4(4 - 3k^2) = 0$，得$k = \pm\frac{2\sqrt{3}}{3}$；②方程为一次方程（$1 - k^2 = 0$），即$k = \pm1$。综上，$k = \pm1$或$k = \pm\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
（3）没有公共点时，二次方程$\Delta ＜ 0$，即$4(4 - 3k^2) ＜ 0$，解得$k ＜ -\frac{2\sqrt{3}}{3}$或$k ＞ \frac{2\sqrt{3}}{3}$。
（1）$\left(-\frac{2\sqrt{3}}{3}, -1\right) \cup (-1, 1) \cup \left(1, \frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$
（2）$k = \pm1$或$k = \pm\frac{2\sqrt{3}}{3}$
（3）$\left(-\infty, -\frac{2\sqrt{3}}{3}\right) \cup \left(\frac{2\sqrt{3}}{3}, +\infty\right)$

典例 1 (1)(2025·江苏南京调研)已知顶点在原点，关于 $ y $ 轴对称的抛物线与直线 $ x - 2y = 1 $ 交于 $ P $，$ Q $ 两点，若 $ |PQ| = \sqrt{15} $，则抛物线的方程为()

A.$ x^2 = -4y $
B.$ x^2 = 12y $
C.$ x^2 = -4y $ 或 $ x^2 = 12y $
D.以上都不是

答案： C

(2)(一题多解)已知斜率为 $ 2 $ 的直线经过椭圆 $ \frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{4} = 1 $ 的右焦点 $ F $，与椭圆相交于 $ A $，$ B $ 两点，则弦 $ AB $ 的长为.

答案： 椭圆$\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{4} = 1$中，$a=\sqrt{5}$，$b = 2$，根据$c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}$可得$c = 1$，则右焦点$F(1,0)$。
已知直线斜率为$2$且过点$F(1,0)$，根据点斜式方程可得直线方程为$y - 0 = 2(x - 1)$，即$y = 2x - 2$。
解法一：联立方程，利用弦长公式求解
联立直线与椭圆方程$\begin{cases}y = 2x - 2\\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{4} = 1\end{cases}$，将$y = 2x - 2$代入$\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{4} = 1$中得：
$\frac{x^{2}}{5}+\frac{(2x - 2)^{2}}{4}=1$
$\frac{x^{2}}{5}+\frac{4x^{2}-8x + 4}{4}=1$
$\frac{x^{2}}{5}+x^{2 - 2x + 1}=1$
$\frac{x^{2}}{5}+x^{2}-2x + 1 - 1 = 0$
$\frac{x^{2}+5x^{2}-10x}{5}=0$
$6x^{2}-10x = 0$
$3x^{2}-5x = 0$
$x(3x - 5)=0$
解得$x_1 = 0$，$x_2=\frac{5}{3}$。
当$x_1 = 0$时，$y_1 = 2×0 - 2=-2$；当$x_2=\frac{5}{3}$时，$y_2 = 2×\frac{5}{3}-2=\frac{4}{3}$。
即$A(0,-2)$，$B(\frac{5}{3},\frac{4}{3})$。
根据两点间距离公式$\vert AB\vert=\sqrt{(x_2 - x_1)^{2}+(y_2 - y_1)^{2}}$可得：
$\vert AB\vert=\sqrt{(\frac{5}{3}-0)^{2}+(\frac{4}{3}+2)^{2}}=\sqrt{(\frac{5}{3})^{2}+(\frac{10}{3})^{2}}=\sqrt{\frac{25 + 100}{9}}=\sqrt{\frac{125}{9}}=\frac{5\sqrt{5}}{3}$
解法二：利用弦长公式$ \vert AB\vert=\sqrt{1 + k^{2}}·\sqrt{(x_1 + x_2)^{2}-4x_1x_2}$求解
由$6x^{2}-10x = 0$，根据韦达定理可知，在一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$中，两根$x_1$，$x_2$有$x_1 + x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
对于$6x^{2}-10x = 0$，$a = 6$，$b=-10$，$c = 0$，则$x_1 + x_2=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}$，$x_1x_2 = 0$。
已知直线斜率$k = 2$，根据弦长公式$\vert AB\vert=\sqrt{1 + k^{2}}·\sqrt{(x_1 + x_2)^{2}-4x_1x_2}$可得：
$\vert AB\vert=\sqrt{1 + 2^{2}}·\sqrt{(\frac{5}{3})^{2}-4×0}=\sqrt{5}×\frac{5}{3}=\frac{5\sqrt{5}}{3}$
综上，弦$AB$的长为$\frac{5\sqrt{5}}{3}$。