《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

[变式探究]
(变条件、变设问)已知直线$l$过点$M(2,1)$，且分别与$x$轴的正半轴，$y$轴的正半轴交于$A$，$B$两点，$O$为原点，当$\vert OA\vert+\vert OB\vert$取最小值时，求直线$l$的方程。

答案： [变式探究] 解：设直线 $l: \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$，则 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b} = 1$，$a ＞ 0$，$b ＞ 0$，所以 $|OA| + |OB| = a + b = (a + b) · (\frac{2}{a} + \frac{1}{b}) = 3 + \frac{a}{b} + \frac{2b}{a} \geq 3 + 2\sqrt{2}$，当且仅当 $a = 2 + \sqrt{2}$，$b = 1 + \sqrt{2}$ 时等号成立，所以当 $|OA| + |OB|$ 取最小值时，直线 $l$ 的方程为 $x + \sqrt{2}y - 2 - \sqrt{2} = 0$.

对点练2. (1)若直线$l:(a - 2)x + ay + 2a - 3 = 0$经过第四象限，则实数$a$的取值范围为(C)

A.$(-\infty,0)\cup(2,+\infty)$
B.$(-\infty,0)\cup[2,+\infty)$
C.$(-\infty,0)\cup(\frac{3}{2},+\infty)$
D.$(-\infty,0)\cup[\frac{3}{2},+\infty)$

答案： 对点练 2.
(1)C
(1) 若 $a = 0$，则 $l$ 的方程为 $x = -\frac{3}{2}$，不经过第四象限；若 $a \neq 0$，将 $l$ 的方程转化为 $y = -\frac{a - 2}{a}x - \frac{2a - 3}{a}$，因为 $l$ 经过第四象限，所以 $-\frac{a - 2}{a} ＜ 0$ 或 $-\frac{2a - 3}{a} ＜ 0$，解得 $a ＜ 0$ 或 $a ＞ \frac{3}{2}$. 综上，实数 $a$ 的取值范围为 $(-\infty, 0) \cup (\frac{3}{2}, +\infty)$. 故选 C.

(2)已知直线$kx - y + 2k - 2 = 0$恒过定点$A$，点$A$在直线$mx + ny + 2 = 0$上，其中$m$，$n$均为正数，则$\frac{2}{m}+\frac{2}{n}$的最小值为(C)

A.$4$
B.$4 + 4\sqrt{2}$
C.$8$
D.$4 - 4\sqrt{2}$
请完成课时测评66

答案：
(2)C
(2) 由 $kx - y + 2k - 2 = 0$，得 $y = k(x + 2) - 2$. 所以直线 $kx - y + 2k - 2 = 0$ 恒过定点(-2, -2)，即 $A(-2, -2)$. 因为点 $A$ 在直线 $mx + ny + 2 = 0$ 上，所以 $m + n = 1$，所以 $\frac{2}{m} + \frac{2}{n} = 2(\frac{1}{m} + \frac{1}{n})(m + n) = 2(2 + \frac{n}{m} + \frac{m}{n}) \geq 2(2 + 2\sqrt{\frac{n}{m} · \frac{m}{n}}) = 8$，当且仅当 $\frac{n}{m} = \frac{m}{n}$，即 $m = n = \frac{1}{2}$ 时取等号. 所以 $\frac{2}{m} + \frac{2}{n}$ 的最小值为 8. 故选 C.

1. 两条直线的位置关系
直线 $ l_1:y = k_1x + b_1 $，$ l_2:y = k_2x + b_2 $，$ l_3:A_1x + B_1y + C_1 = 0 $，$ l_4:A_2x + B_2y + C_2 = 0 $(其中 $ l_1 $ 与 $ l_3 $ 是同一直线，$ l_2 $ 与 $ l_4 $ 是同一直线，$ l_3 $ 的法向量 $ \boldsymbol{v}_1 = $$(A_1,B_1)$，$ l_4 $ 的法向量 $ \boldsymbol{v}_2 = $$(A_2,B_2)$)的位置关系如下表：

答案： $(A_1,B_1)$ $(A_2,B_2)$ $k_1 = k_2$且$b_1\neq b_2$ $A_1B_2 - A_2B_1 = 0$且$A_1C_2 - A_2C_1\neq0$ $k_1· k_2 = -1$ $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$ $k_1\neq k_2$ $A_1B_2 - A_2B_1\neq0$