《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

1. 椭圆的定义

[微提醒] 在数学表达式$\vert PF_1\vert+\vert PF_2\vert = 2a$中：若$2a=\vert F_1F_2\vert$，则动点的轨迹为线段$F_1F_2$；若$2a＜\vert F_1F_2\vert$，则动点的轨迹不存在.

答案： 定点$F_1,F_2$；$|F_1F_2|$

2. 椭圆的标准方程和简单几何性质
[微提醒] (1)焦点在$x$轴上$\Leftrightarrow$标准方程中$x^2$项的分母较大；焦点在$y$轴上$\Leftrightarrow$标准方程中$y^2$项的分母较大.
(2)离心率表示椭圆的扁平程度.当$e$越接近于$1$时，$c$越接近于$a$，从而$b=\sqrt{a^2 - c^2}$越小，因此椭圆越扁.

答案： 焦点在x轴上范围：$x\in[-a,a]$，$y\in[-b,b]$；焦点在y轴上范围：$x\in[-b,b]$，$y\in[-a,a]$
对称性：对称轴：x轴、y轴；对称中心：原点（或$(0,0)$）
顶点：
焦点在x轴上：$(-a,0)$，$(a,0)$，$(0,-b)$，$(0,b)$
焦点在y轴上：$(0,-a)$，$(0,a)$，$(-b,0)$，$(b,0)$
轴：长轴$A_1A_2$的长为$2a$；短轴$B_1B_2$的长为$2b$
焦距：$|F_1F_2|=2c$
离心率：$e=\frac{c}{a}$
$a,b,c$的关系：$c^2=a^2-b^2$

1. (多选题)下列说法中正确的是(CD)

A.平面内与两个定点$F_1,F_2$的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆
B.椭圆的离心率$e$越大，椭圆就越圆
C.方程$mx^2 + ny^2 = 1(m＞0,n＞0,m\neq n)$表示的曲线是椭圆
D.$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a＞b＞0)$与$\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{x^2}{b^2}=1(a＞b＞0)$的焦距相同

答案： 1.CD