《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

(2) 已知不等式$(x + y)\left( \frac{1}{x} + \frac{a}{y} \right) \geq 9$对任意正实数$x,y$恒成立，则正实数$a$的最小值为4。
[规律方法] 分离参数法是处理此类问题的首选方法，一般转化为基本不等式求最值或转化为求某个函数的最值问题。

答案：
(2)4 已知不等式$ (x + y)(\frac{1}{x}+\frac{a}{y})\geqslant9 $对任意正实数 x，y 恒成立，只需$ (x + y)(\frac{1}{x}+\frac{a}{y})$的最小值大于或等于 9，因为$ (x + y)(\frac{1}{x}+\frac{a}{y})=1+a+\frac{y}{x}+\frac{ax}{y}\geqslant a + 2\sqrt{a}+1=(\sqrt{a}+1)^2，$当且仅当$ y=\sqrt{a}x $时，等号成立，所以$ (\sqrt{a}+1)^2\geqslant9，$所以$ a\geqslant4，$即正实数 a 的最小值为 4.

对点练 2 (1)(2025·安徽蚌埠模拟)已知$a^2 + b^2 = k$，若$\frac{4}{a^2} + \frac{9}{b^2 + 1} \geq 1$恒成立，则$k$的最大值为(C)

A.$4$
B.$5$
C.$24$
D.$25$

答案：
(1)C 因为$ a^2 + b^2=k，$所以$ a^2+(b^2 + 1)=k + 1，$所以$ (k + 1)(\frac{4}{a^2}+\frac{9}{b^2 + 1})=[a^2+(b^2 + 1)](\frac{4}{a^2}+\frac{9}{b^2 + 1})=\frac{4(b^2 + 1)}{a^2}+\frac{9a^2}{b^2 + 1}+13\geqslant2\sqrt{\frac{4(b^2 + 1)}{a^2}×\frac{9a^2}{b^2 + 1}}+13=25，$当且仅当$ \frac{4(b^2 + 1)}{a^2}=\frac{9a^2}{b^2 + 1}，$即$ 3a^2=2(b^2 + 1)=\frac{6}{5}(k + 1)$时等号成立，即$ \frac{4}{a^2}+\frac{9}{b^2 + 1}\geqslant\frac{25}{k + 1}，$由题意可得$ \frac{25}{k + 1}\geqslant1，$又 k＞0，解得 0＜k\leqslant24，故 k 的最大值为 24.故选 C.

(2) 设$k ＞ 0$，若关于$x$的不等式$kx + \frac{4}{x - 1} \geq 12$在$(1,+\infty)$上恒成立，则$k$的最小值为4。

答案：
(2)4 原不等式变形为$ k(x - 1)+\frac{4}{x - 1}+k\geqslant12，$则原问题转化成不等式$ k(x - 1)+\frac{4}{x - 1}\geqslant12 - k $在$(1,+\infty)$上恒成立，所以只需$ 12 - k\leqslant[k(x - 1)+\frac{4}{x - 1}]_{\min} $即可.由基本不等式可知，$k(x - 1)+\frac{4}{x - 1}\geqslant2\sqrt{k(x - 1)×\frac{4}{x - 1}}=4\sqrt{k}，$当且仅当$ k(x - 1)=\frac{4}{x - 1}$时等号成立，所以只需$ 12 - k\leqslant4\sqrt{k}$成立，即$ (\sqrt{k}+6)(\sqrt{k}-2)\geqslant0，$所以$ k\geqslant4，$即$ k_{min}=4.$

[规律方法] 利用基本不等式求解实际问题时，根据实际问题设出变量，注意变量的实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，基本不等式求得函数的最值。

答案： 答案略

[真题再现] (多选题)(2022·新高考Ⅱ卷)若$x,y$满足$x^2 + y^2 - xy = 1$，则(BC)

A.$x + y \leq 1$
B.$x + y \geq -2$
C.$x^2 + y^2 \leq 2$
D.$x^2 + y^2 \geq 1$

答案： 真题再现 BC 因为$ ab\leqslant(\frac{a + b}{2})^2\leqslant\frac{a^2 + b^2}{2}(a,b\in\mathbf{R})，$由$ x^2 + y^2 - xy=1 $可变形为$ (x + y)^2 - 1=3xy\leqslant3(\frac{x + y}{2})^2，$解得$ -2\leqslant x + y\leqslant2，$当且仅当 x=y=-1 时，x + y=-2，当且仅当 x=y=1 时，x + y=2，故 A 错误，B 正确；由$ x^2 + y^2 - xy=1 $可变形为$ (x^2 + y^2)-1=xy\leqslant\frac{x^2 + y^2}{2}，$解得$ x^2 + y^2\leqslant2，$当且仅当$ x=y=\pm1 $时取等号，故 C 正确；因为$ x^2 + y^2 - xy=1 $变形可得$ (x-\frac{y}{2})^2+\frac{3}{4}y^2=1，$设$ x-\frac{y}{2}=\cos\theta，$$\frac{\sqrt{3}}{2}y=\sin\theta，$所以$ x=\cos\theta+\frac{\sin\theta}{\sqrt{3}}，$$y=\frac{2}{\sqrt{3}}\sin\theta，$因此$ x^2 + y^2=\cos^2\theta+\frac{5}{3}\sin^2\theta+\frac{2}{\sqrt{3}}\sin\theta\cos\theta=1+\frac{1}{\sqrt{3}}\sin2\theta-\frac{1}{3}\cos2\theta+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}+\frac{2}{3}\sin(2\theta-\frac{\pi}{6})\in[\frac{2}{3},2]，$所以当$ x=\frac{\sqrt{3}}{3}，$$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}$时满足等式，但是$ x^2 + y^2\geqslant1 $不成立，故 D 错误.故选 BC.

[教材呈现] （北师必修一 P30A 组 T5(2)(4)）
(2) $x^2 + y^2 \geq \frac{(x + y)^2}{2}$；(4) $\sqrt{xy} \geq \frac{2xy}{x + y}$。

答案：
(2)不等式成立；
(4)当$x ＞ 0,y ＞ 0$时不等式成立。