《2025年金版新学案高三总复习数学北师大版》

(1)求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式；

答案： 解：
(1)因为$a_{n + 1} = 3a_{n} - 2a_{n - 1}(n\geq 2)$，
所以$a_{n + 1}-a_{n} = 2(a_{n} - a_{n - 1})$，又$a_{1} = 1$，$a_{2} = 2$，
所以数列$\{a_{n + 1}-a_{n}\}$为首项为$1$，公比为$2$的等比数列，
所以$a_{n + 1}-a_{n} = 2^{n - 1}$，
所以当$n \geq 2,n \in N_+$时，$a_{2} - a_{1} = 1$，$a_{3} - a_{2} = 2$，$·s$，$a_{n} - a_{n - 1} = 2^{n - 2}$，
所以$a_{n} - a_{1} = 1 + 2 + ·s + 2^{n - 2} = \frac{1 - 2^{n - 1}}{1 - 2} = 2^{n - 1} - 1$，
所以当$n \geq 2$，$n \in N_+$时，$a_{n} = 2^{n - 1}$，又$a_{1} = 1$也满足上式，
所以数列$\{a_{n}\}$的通项公式为$a_{n} = 2^{n - 1}(n \in N_+)$．

(2)在数列$\{ a_{n}\}$的任意$a_{k}$与$a_{k + 1}$项之间，都插入$k(k\in N_{+})$个相同的数$( - 1)^{k}k$，组成数列$\{ b_{n}\}$，记数列$\{ b_{n}\}$的前$n$项和为$T_{n}$，求$T_{27}$的值。

答案：
(2)数列$\{b_{n}\}$中，在$a_{k + 1}$之前共有$k + (1 + 2 + ·s + k) = k + \frac{(1 + k)k}{2} = \frac{k^2 + 3k}{2}$项，
当$k = 5$时，$\frac{k^2 + 3k}{2} = 20 ＜ 27$，当$k = 6$时，$\frac{k^2 + 3k}{2} = 27$，
则$T_{27} = (1^2 + 2^2 + ·s + 2^5) + (-1^2 + 2^2 - 3^2 + 4^2 - 5^2 + 6^2)$
$=\frac{1 - 2^5}{1 - 2} + (3 + 7 + 11) = 2^5 - 1 + 21 = 84$．

(1)求数列$\{ a_{n}\}$，$\{ b_{n}\}$的通项公式；

答案： 解：
(1)设数列$\{a_{n}\}$的公差为$d$，$d＞0$，数列$\{b_{n}\}$的公比为$q$，
由已知得$\begin{cases}a_{1} + a_{1} + 4d = 18,\\(a_{1} + 2d)^2 = a_{1}(a_{1} + 8d).\end{cases}$
解得$a_{1} = 3$，$d = 3$，所以$a_{n} = 3n$，
所以$b_{1} = a_{1} = 3$，$q = \frac{a_{3}}{a_{1}} = 3$，所以$b_{n} = 3^n$．

(2)删去数列$\{ b_{n}\}$中的第$a_{i}$项(其中$i = 1$，$2$，$3$，$·s$)，将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列$\{ c_{n}\}$，求新数列$\{ c_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}$。

答案：
(2)由题意可知新数列$\{c_{n}\}$为：$b_{1}$，$b_{2}$，$b_{4}$，$b_{5}$，
则当$n$为偶数时，$S_{n} = (b_{1} + b_{4} + ·s + b_{\frac{n}{2} - 2}) + (b_{2} + b_{5} + ·s + b_{\frac{n}{2} - 1})$
$=\frac{3(1 - 27^{\frac{n}{2}})}{1 - 27} + \frac{3^2(1 - 27^{\frac{n}{2}})}{1 - 27} = \frac{6(27^{\frac{n}{2}} - 1)}{13}$；
当$n$为奇数时，$S_{n} = S_{n - 1} + c_{n} = S_{n - 1} + b_{\frac{n + 3}{2}} = \frac{6(27^{\frac{n - 1}{2}} - 1)}{13} + 3^{\frac{n + 3}{2}}$
综上可得，$S_{n} = \begin{cases}\frac{6(27^{\frac{n}{2}} - 1)}{13},n为偶数,\frac{6(27^{\frac{n - 1}{2}} - 1)}{13} + 3^{\frac{n + 3}{2}},n为奇数.\end{cases}$

(1)求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式；

答案： 解：
(1)因为$T_{n} = 2^{\frac{n(n + 1)}{2}} · a_{n}$．
当$n \geq 2$时，$T_{n - 1} = 2^{\frac{(n - 1)n}{2}} · a_{n - 1}$，
两式相除可得$a_{n} = \frac{2^{n - 1}a_{n}}{a_{n - 1}}$，
因为$a_{n} \neq 0$，所以$a_{n - 1} = 2^{n - 1}$，又$a_{1} = 2$，所以$a_{n} = 2^n$．

(2)保持数列$\{ a_{n}\}$中的各项顺序不变，在每两项$a_{k}$与$a_{k + 1}$之间插入一项$2(a_{k + 1} - a_{k})$(其中$k = 1$，$2$，$3$，$·s$)，组成新的数列$\{ b_{n}\}$，记数列$\{ b_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，若$S_{n} ＞ 2025$，求$n$的最小值。

答案：
(2)依题意，$S_{2n} = a_{1} + 2(a_{2} - a_{1}) + a_{2} + 2(a_{3} - a_{2}) + ·s + a_{n} + 2(a_{n + 1} - a_{n})$
$= a_{1} + a_{2} + ·s + a_{n} + 2(a_{n + 1} - a_{1}) = a_{1} + a_{2} + ·s + a_{n} + 2a_{n + 1} - 2a_{1}$
$=\frac{2(1 - 2^n)}{1 - 2} + 2^{n + 2} - 4 = 3 · 2^{n + 1} - 6$，
易知$\{S_{2n}\}$随着$n$增大而增大，
当$n = 8$时，$S_{16} = 3 · 2^9 - 6 = 1530 ＜ 2025$，
当$n = 9$时，$S_{18} = 3 · 2^{10} - 6 = 3066 ＞ 2025$，
而$S_{17} = S_{16} + b_{17} = S_{16} + a_{9} = 1530 + 512 = 2042 ＞ 2025$，
综上，$n$的最小值为$17$．